Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
4. Применим формулу Лапласа для расчета высоты поднятия жидкости в цилиндрическом капилляре радиуса а (рис. 124). Пренебрежем изменением давления жидкости при изменении высоты
§ 109]
ФОРМУЛА ЛАПЛАСА
429
на величину порядка а. В этом приближении разность давлений Я, — Рг будет одной и той же во всех точках мениска. То же отно-
1,1
СИТСЯ к средней кривизне ?Г + дГ, как это следует из формулы
Лапласа (109.2). Кроме того, ввиду симметрии Ri = R2. Поэтому в рассматриваемом приближении мениск можно считать сферическим. Его радиус кривизны равен
Я =
cos© ’
где О — краевой угол. В рассматриваемом случае Рг есть атмосферное давление, а Р2 — давление жидкости на уровне мениска. Эти давления связаны соотношением
Pi-P2 = pgh,
где h — высота поднятия, ар — плотность жидкости. Сравнивая эту формулу с формулой (109.3), получим
2о 2о „ (109.4)
/г =
pgR
2а
— cos' Pga
Высота поднятия обратно пропорциональна радиусу капилляра. Когда угол ¦0 — тупой, т. е. мениск — выпуклый, величина h отрицательна, т. е. имеет место не поднятие, а опускание жидкости в капилляре.
ЗАДАЧИ
1. Капля воды с массой от = 0,1 г введена между двумя плоскими и параллельными между собой стеклянными пластинками, смачиваемыми водой, причем краевой угол 0 = 0. Как велика сила притяжения между пластинками F, если они находятся друг от друга на расстоянии d = 101 см? Поверхностное натяжение воды (при 18°) ст = 73 дин-см-1.
Решение. Капля примет форму диска с вогнутой периферийной поверхностью. Кривизной сечения этой поверхности плоскостью, параллельной пластинкам, можно пренебречь. Радиус кривизны нормального к нему сечения г = d/2.
Средняя кривизна боковой поверхности диска = —г. Давление жид-
?\2 &
кости между дисками меньше атмосферного на ДР = 2a/d. Площадь диска S = = m/(pd), где р—плотность жидкости. Пластинки будут прижиматься друг к другу с силой
F = S ДР = ?^= 1,46- 10» дин =1,46- 101 Н.
р а*
2. Грамм ртути помещен между двумя плоскими стеклянными пластинками. Какую силу F надо приложить к верхней пластинке, чтобы ртуть приняла форму круглой лепешки однородной толщины и радиуса R = 5 см. Поверхностное натяжение ртути (при 15°) а = 487 дин-см^1, краевой угол между ртутью и стеклом 0 = 40°.
Ответ. F = —Р COS ® лЩі = 630 Н (от—масса ртути).
430
ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
3. С какой силой F притягиваются две вертикальные и параллельные стеклянные пластинки, частично погруженные в воду так, что расстояние между
ними равно d = 0,1 мм? Ширина пластинок I — 10 см, а = 73 дин-см"1, € = 0.
Высота пластинок такова, что поднявшаяся вода не доходит до их верхних краев.
_ „ 2а2/cos2 О
Ответ. F =----------^—== 10 Н.
Рgd?
4. Бесконечно длинная прямоугольная пластинка кладется на поверхность
смачивающей ее жидкости, а затем слегка приподнимается, увлекая за собой
некоторое количество жидкости (рис. 125). Найти уравнение боковой поверхности жидкости, устанавливающейся под влиянием капиллярных сил и силы тяжести.
Решение. Примем за ось X прямую, перпендикулярную к длинной стороне пластинки и лежащую на горизонтальной поверхности жидкости, а за ось Y — вертикальную прямую, касающуюся правой цилиндрической поверхности жидкости. Пусть X и у означают текущие координаты точки, лежащей на искомой поверхности. Давление внутри жидкости на уровне точки А (рис. 125) равно Р Р„ — pgy, где Рв — атмосферное давление. То же давление можно выразить по формуле Лапласа Р -= = Рв — о 1(, где К — абсолютное значение кривизны поверхности жидкости в точке А. Следовательно,
Рgy — oK- (109.5)
Рис. 125. По определению кривизны К =
=—йф/ris, где ds — элемент
длины дуги, считаемый положительным, когда он проходит в направлении
снизу вверх. Он связан с dx и dy соотношениями: dx — ds cos ф; dy = ds sin (p.
Таким образом,
,, dq> d(p .
K = —;r COS ф --------J- sin ф.
dx T dy ^
Подставляя эти выражения в (109.5), получим два уравнения:
pgy dy-\-a sin (f dtp=0, (109.6)
pgy dx + a cos ф d<f = 0. (109.7)
Интегрируя (109.6) при начальном условии ф = я при у — 0, получим:
Ф
- cos - . Рg 2
у= 2\f—
У 98
Подстановка этого выражения в (109.7) приводит к уравнению
гіф
(ЮР..?'!
Pg Ф 1 cos ~
интегрирование которого при начальном условии х = 0 при ф = я/2 дает
' ft\V2 2/ 2 ' PS
In
1 + sin -
r) (/2-і)
2) 2 V pg ^_sin^(/2+1)
. (109.9)
§ 1091 ФОРМУЛА ЛАПЛАСА 431
Формулы (109.8) и (109.9) выражают уравнение искомой поверхности в параметрической форме.
5. Определить в предыдущей задаче максимально возможную высоту поднятия пластинки над уровнем жидкости h и толщину приподнятого столба жидкости D в наиболее узком месте MN (рис. 125) при той же высоте поднятия. Найти также силу /•', которую необходимо приложить к единице длины пластинки, чтобы оторвать последнюю от жидкости. Вес единицы длины пластинки равен q, ее ширина а.
Решение. Минимальная толщина столба жидкости D = MN при максимально возможной высоте поднятия h (рнс. 125) определится из требования
Ф=0 при у — h. Подставляя в формулу (109.9) х— —¦ -, ф= 0, получим:
D — a—2
і/"-МУ2-1п(/2 + l)] = e-1.066 j/"—. (109.10)
