Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сивухин Д.В. -> "Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика" -> 187

Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.

Сивухин Д.В. Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика — Физматлит, 1970. — 565 c.
Скачать (прямая ссылка): obshiykurstermodinamika1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 181 182 183 184 185 186 < 187 > 188 189 190 191 192 193 .. 240 >> Следующая

Возьмем ареометр или похожий на него прибор, плавающий в вертикальном
положении на поверхности воды, выступая немного наружу. На верхний конец
трубки ареометра наденем и закрепим плоский кружок из проволочной сетки и погрузим весь прибор в воду. Ареометр начнет всплывать. Однако, когда сетка дойдет до поверхности воды, то прибор остановится, встречая у самой поверхности сопротивление не пропускающей его пленки. Если слегка наклонить прибор, чтобы край сетки отделился от воды, то он всплывет, и сетка окажется значительно выше поверхности воды. Можно заставить ареометр всплывать и не наклоняя его. Для этого достаточно капнуть на воду несколько капель эфира.
§ 109. Разность давлений по разные стороны изогнутой поверхности жидкости. Формула Лапласа
1. Если поверхность жидкости — кривая, то при равновесии давления по разные стороны ее должны быть разными. Явление обусловлено силами поверхностного натяжения. Рассмотрим сначала простейший случай, когда жидкость ограничена боковой поверхностью прямого круглого цилиндра. Поперечное сечение цилиндра представлено на рис. 121. Выберем на его поверхности бесконечно малый участок АВ, стягиваемый центральным углом ф. На его боковые стороны действуют касательные силы Ьа, где b — длина цилиндра. Равнодействующая этих сил направлена параллельно радиусу СО цилиндра и равна F = 2ba sin -J-, или F = bay, так как угол ф выбран бесконечно малым. Подставляя сюда ф = = где а — длина дуги АВ, a R — радиус цилиндра, получим
F=-^S. (109.1)
§ 109]
ФОРМУЛА ЛАПЛАСА
427
Здесь S = аЪ — площадь бесконечно малого прямоугольного участка на боковой поверхности цилиндра. Разделив силу F на площадь S, найдем разность давлений внутри и снаружи жидкости:
Pz-Pi^
2. Обобщим теперь эту формулу на случай, когда жидкость ограничена поверхностью двойной кривизны. С этой целью возьмем на поверхности жидкости четыре точки А,
В, С, D, находящиеся в вершинах бесконечно Рис. 121.
малого прямоугольника (рис. 122). Проведем через А и В, В и С и т. д. плоскости, перпендикулярные к поверхности жидкости. (На рис. 122 изображены только две плоскости, проведенные через AD и ВС. Они пересекаются вдоль бесконечно малого отрезка ОО'.) В результате получится бесконечно малый криволинейный прямоугольник ABCD. Его стороны могут рассматриваться как бесконечно малые дуги окружностей. Пусть — радиус кривизны дуги АВ. Радиус кривизны дуги DC отличается от Rt бесконечно мало. На противоположные стороны AD и ВС действуют касательные силы поверхностного натяжения. Результирующая этих сил нормальна к поверхности жидкости. Согласно формуле (109.1) ее величина равна = S, где S — площадь прямоугольника ABCD. Рассуждая так же, найдем, что результирующая касательных сил поверхностного натяжения, действующих на противоположные стороны А В и DC, тоже нормальна к поверхности
жидкости и равна F% = S, где R2 — радиус кривизны дуги AD.
А2
(Радиус кривизны дуги ВС отличается от него бесконечно мало.)
Таким образом, результирующая всех сил поверхностного натяжения, действующих на границах прямоугольника ABCD, равна
F = Fy + F2
: °5 U + Кг
Разделив ее на S, получим искомую разность давлений:
JW1 = c(j!i + і). (109.2)
Рис. 122.
Формула (109.2) называется формулой Лапласа. Величины Rx и R2 суть радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости. Радиус кривизны считается положительным, если соответствующее нормальное сечение вогнуто в сторону жидкости. В противном случае он считается отрицательным.
428
ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
Величина — + называется средней кривизной поверхности. Средняя кривизна не зависит от выбора взаимно перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости. В противном случае от такого выбора зависела бы и разность давлений Р2 — Рг, что физически бессмысленно. В дифференциальной геометрии независимость средней кривизны любой поверхности от выбора нормальных сечений доказывается чисто математическими методами без использования физических или каких-либо других соображений. Эта независимость составляет содержание так называемой теоремы Эйлера.
3. Если поверхность жидкости — сферическая, то R1 — R.1 — R, и формула (109.2) переходит в
Ръ-Рг = ~. (Ю9.3)
Для мыльного пузыря разность давлений воздуха внутри и вне пузыря вдвое больше по сравнению с тем, что дает формула (109.3), т. е.
Это связано с тем, что оболочка пузыря имеет две поверхности: наружную и внутреннюю. Она действует как пленка с удвоенным поверхностным натяжением.
Таким образом, чем больше кривизна поверхности пузыря, тем больше давление газа в нем. Положение здесь противоположно тому, с которым мы сталкиваемся, надувая футбольный мяч: с увеличением размеров мяча увеличивается и давление газа внутри него. Указанное различие связано с тем, что поверхностное натяжение пленки пузыря не зависит от его размеров, тогда как натяжение оболочки камеры футбольного мяча возрастает по мере ее надувания.
Рассмотрим два мыльных пузыря, сообщающихся друг с другом. Их можно получить при помощи тройника, снабженного необходимыми кранами (рис. 123). Сначала каждый пузырь выдувается в отдельности. Затем кран КЛ закрывается, а краны К2 и К-Л открываются. Давление в меньшем пузыре больше, и воздух из этого пузыря будет перетекать в больший пузырь. Больший пузырь будет расти за счет меньшего.
Предыдущая << 1 .. 181 182 183 184 185 186 < 187 > 188 189 190 191 192 193 .. 240 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed