Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
(Для водорода Тк = 33,3 К, Рк =
= 12,8 атм.)
4. Перейдем теперь к рассмотрению интегрального эффекта Джоуля — Томсона. В § 46 уже говорилось, что интегральный эффект Джоуля — Томсона получают, заставляя газ перетекать через вентиль, по разные стороны которого поддерживается большая разность давлений.
Изменение температуры газа Т2 — Т1 при интегральном эффекте определяется формулой (46.2), которую мы здесь перепишем в виде
Ра р* Т (^ — V
Тл-Тг= $ (¦?jp\dP= Л ¦ ¦ V?yp----------АР. (104.12)
Ру Р
В зависимости от знака подынтегрального выражения изменение температуры У'2 — Тх может быть каК положительным, так и отрицательным. В частности, если во всем диапазоне давлений дифференциальный эффект Джоуля — Томсона положителен, то таким же будет и интегральный эффект, т. е. в результате дросселирования газ должен охлаждаться. При комнатных температурах это имеет место для большинства газов, в частности для воздуха и углекислоты. Если взять баллон с газообразной углекислотой под давлением 100—200 атм и заставить ее вытекать в атмосферу через вентиль, то получится настолько значительное охлаждение, что углекислота перейдет в твердое состояние. Совсем иначе ведет себя водород. Для него при комнатных температурах дифференциальный, а следовательно, и интегральный эффект Джоуля — Томсона отрицателен; при дросселировании водород нагревается. Такое нагревание иногда приводило к катастрофам, в которых сильно сжатый водород самопроизвольно воспламенялся при истечении
Рис. 106.
406
РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ
[ГЛ. VIII
из поврежденных труб. При внезапном расширении водород может охлаждаться лишь тогда, когда его температура ниже — 80 °С. При более высоких температурах водород всегда нагревается.
В связи с использованием интегрального эффекта Джоуля — Томсона для получения низких температур представляет интерес следующий вопрос. Пусть газ при начальной температуре Тл расширяется в процессе Джоуля — Томсона до некоторого постоянного давления Р2 (например, атмосферного). Какое следует взять начальное давление Р1г чтобы получилось максимальное охлаждение? Разность температур Т2 — Т, определяется формулой (104.12). При фиксированной температуре Г\ она зависит только от начального давления Pj (поскольку конечное давление Р2 также фиксировано). Из формулы (104.12) получаем
d (Т I
dPi Ut іі>-с!p\др )лІР = Ри T=Ti-Приравнивая эту производную нулю, находим условие максимума:
U); = 0 при Р=Р1, Г=7\. (104.13)
Но уравнение есть уравнение кривой инверсии дифференциального
эффекта. Таким образом, чтобы получить максимальное охлаждение, необходимо взять начальную точку Тг, Pt на кривой инверсии дифференциального эффекта Джоуля — Томсона.
В одном, и притом наиболее важном, случае интегрирование в формуле
(104.12) просто доводится до конца. Это случай, когда газ в исходном состоянии находится под высоким давлением, а после дросселирования его давление падает настолько низко, что в конечном состоянии он может рассматриваться как идеальный. Расчет проще выполнить не по формуле (104.12), а непосредственно с помощью равенства энтальпий газа в начальном и конечном состояниях. Используя выражение (103.5), равенство энтальпий для газа Ван-дер-Ваальса можно записать в виде
1 х *2
U Cv(T)dT~-^ + PlVl^ J CV(T) dT—“-+p,v„
тв 1 To
Оба интеграла, входящие сюда, мы объединим в один. В правой части можно
пренебречь членом a/V2 и воспользоваться уравнением Клапейрона А, К, = = RT2. В этом приближении
т,
J Cv(T)dT—±-+P1V1=RTi. т, 1
Давление pi находим из уравнения Ван-дер-Ваальса. В результате получаем
C„(rl-7’J-^ + -^.=R7-„
где Cv — средняя теплоемкость газа при постоянном объеме в температурном интервале от Т, до Г2. Из последней формулы находим
Rb „ 2а
-Tt— ——^——-—-. (104.14)
/? + Су
§ 104] ЭФФЕКТ ДЖОУЛЯ — ТОМСОНА ДЛЯ ГАЗА ВАН-ДЕР-ВААЛЬСА 407
27
Так как знаменатель — величина существенно положительная, то знак эффекта определяется только знаком числителя. Эффект положителен (охлаждение)
2Ь V-i—b , 2а V,—b
при Т1 < "ггг—ji------- и отрицателен (нагревание) при 7'1>-—.
КО Vi t\b Vi
В дальнейшем в целях упрощения написания формул начальные параметры будем обозначать просто Т, V, Р, опуская индекс 1.
При температуре
<104л5>
эффект исчезает. Эта температура называется температурой инверсии интегрального эффекта Джоуля — Томсона. Она всегда выше соответствующей температуры для дифференциального эффекта. Уравнение (104.15) определяет на плоскости кривую, называемую кривой инверсии интегрального эффекта Джоуля — Томсона. Записанное в приведенных параметрах, уравнение (104.15) имеет вид
27 ф— 1/3 4 ф
(104.16)
Кривая, изображаемая уравнением
(104.16), приведена на рис. 107 (сплошная линия). Если исходная точка с приведенным объемом ф и приведенной температурой т, изображающая начальное состояние газа, лежит между кривой инверсии (104.16) и осью абсцисс, то при дросселировании газ будет охлаждаться. Если же она лежит над кривой инверсии интегрального эффекта, то получится нагревание. Нарис. 107 пунктиром изображена также кривая инверсии дифференциального эффекта. Она всегда лежит под кривой инверсии интегрального эффекта. Это и понятно. Действительно, выше было отмечено, что еслн во всем интервале изменения давления дифференциальный эффект положителен (отрицателен), то тем более будет положителен (отрицателен) интегральный эффект. Обратное несправедливо, так как для положительности интегрального эффекта не обязательно, чтобы подынтегральное выражение в формуле (104.12) было всюду положительно. На отдельных участках оно может быть отрицательным, и тем не менее интегральный эффект Джоуля — Томсона может остаться положительным. Таким образом, область плоскости VT, в которой дифференциальный эффект положителен, всегда лежит внутри области, в которой положителен интегральный эффект.
