Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
6. Из приведенного рассуждения ясно, что при одном и том оке увеличении объема понижение температуры газа будет наибольшим, когда расширение производится квазистатически. С формально термодинамической точки зрения понижение температуры газа объясняется работой, которую он вынужден совершать при расширении. В технике квазистатическое адиабатическое расширение газа с производством внешней работы используется для получения низких температур (см. § 105). В отношении этого способа необходимо заметить, что по мере понижения температуры газа его давление уменьшается и может оказаться недостаточным для преодоления внешних сил. Казалось бы, что дальнейшее понижение температуры указанным методом становится невозможным. Это неверно. Для преодоления внешних сил вовсе не обязательно использовать давление самого газа. Важно только заставить газ расширяться, приведя в движение одну из стенок сосуда (поршень), в котором он заключен. А для этого можно воспользоваться каким-либо двигателем. При отражении от движущейся стенки, как ясно из молекулярно-кинетического рассмотрения, приведенного выше, газ будет продолжать охлаждаться. И это охлаждение в прин-
224
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВА
[ГЛ. V
ципе может продолжаться до тех пор, пока газ не перейдет в жидкое состояние. Конечно, и в этом случае охлаждение происходит за счет работы, производимой газом. Но это есть вынужденная работа, возможная только потому, что двигатель приводит в движение поршень, от которого отражаются молекулы газа. В отсутствие двигателя разреженный газ не смог бы произвести работу, так как его давление недостаточно для преодоления внешнего давления и различного рода вредных сопротивлений.
Оценить порядок величины максимальной скорости, с которой артиллерийский снаряд может вылетать нз ствола орудия. Какие требования надо предъявлять к пороху, чтобы эта скорость была возможно большей?
Решение. Когда снаряд движется в стволе орудия со скоростью, превышающей скорость теплового движения молекул пороховых газов, последние почти перестают оказывать давление на дно снаряда и ускорять его. Отсюда следует, что максимально достижимая скорость снаряда при вылете из ствола орудия будет порядка средней скорости теплового движения молекул пороховых газов. Она тем больше, чем выше температура пороховых газов и чем меньше их молекулярный вес.
1". Простейшей моделью кристалла является правильно построенная кристаллическая решетка, в узлах которой помещаются атомы, принимаемые за материальные точки. Атомы совершают тепловые колебания около положений равновесия. Если колебания малы, то они будут гармоническими. Энергия каждого атома слагается из кинетической и потенциальной. На каждую степень свободы приходится в среднем кинетическая энергия xUkT. Как было показано в § 63, при гармонических колебаниях на одну степень свободы приходится в среднем такая же потенциальная энергия, т. е. 1l2kT. Таким образом, среднее значение полной энергии, приходящейся на одну колебательную степень свободы, равно
Теперь легко рассчитать теплоемкость кристаллической решетки. Для простоты будем считать, что все атомы одинаковы. Каждый атом обладает тремя колебательными степенями свободы, а потому на него приходится средняя энергия 3kT. Умножив эту величину на число Авогадро N, найдем внутреннюю энергию моля твердого тела U = N-ЗкТ = 3RT. Отсюда для молярной теплоемкости твердого тела получаем
Cv = dU/dt = 3R^24,9 Дж/(К¦ моль)6 кал/(К-моль). (68.2)
Еще в 1819 г. Дюлонг (1785—1838) и Пти (1791—1820) установили эмпирическое правило, согласно которому произведение удель-
ЗАДАЧА
§ 68. Классическая теория теплоемкости твердых тел (кристаллов)
(68.1)
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛОЕМКОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
225
ной теплоемкости химического элемента в твердом состоянии на его атомную массу приблизительно одинаково для всех элементов и составляет около 6 калІ(К-моль). Мы видим, что правило Дюлонга и Пти находит простое объяснение в классической теории теплоемкостей. Вывод показывает, что в правиле Дюлонга н Пти речь идет
о молярной теплоемкости при постоянном объеме. В табл. 5 приведены молярные теплоемкости некоторых элементов в твердом состоянии в температурном интервале от 15 до 100 °С.
Таблица 5
Элемент cv, кал/{К-моль) Элемент CV. калДК*моль)
с 1,44 Pt 0,11
в 2,44 Au 5,99
А1 5,51 Pb 5,94
Са 5,60 и 6,47
Ag 6,11
2. Пусть теперь твердое тело является химическим соединением, например, NaCl. Его кристаллическая решетка построена из атомов различных типов. Очевидно, молекулярная масса химического соединения равна сумме атомных масс всех атомов, из которых состоит молекула этого соединения. Для применимости теоремы о равномерном распределении энергии по степеням свободы не имеет значения, одинаковы или различны атомы. Каждый атом обладает тремя колебательными степенями свободы, и на него в среднем приходится энергия 3kT. Если в молекуле п атомов, то на молекулу придется в среднем энергия 3nkT. Молярная теплоемкость будет 3nkN = 3nR, т. е. она в ti раз больше, чем у того же вещества, если бы его молекулы были одноатом-ны. Иными словами, молярная теплоемкость твердого соединения равна сумме молярных теплоемкостей элементов, из которых оно состоит. Это правило было найдено эмпирически и называется законом Джоуля и Коппа. Джоуль высказал его в 1844 г. Но только в 1864 г. закон был окончательно сформулирован Коппом и подтвержден громадным множеством фактов, полученных самим Коппом. Заметим, что закон Джоуля — Коппа в приведенной выше формулировке: «Молярная теплоемкость твердого соединения приблизительно равна сумме молярных теплоемкостей элементов, из которых оно состоит» —¦ обладает большей общностью, чем правило Дюлонга и Пти. Правило Дюлонга и Пти может нарушаться, т. е. молярные теплоемкости
