Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
"живое состояние" полностью определено в квантовомеханическом смысле, т.
е. ему отвечает один определенный вектор состояния с компонентами и*.
Ясно, что должно существовать, по крайней мере, одно состояние
питательной среды, которое позволяет организму размножаться. Обозначим
соответствующий вектор состояния через w. В действительности состояний
питательной среды, в которых ее может поглощать организм, должно быть
много, но для того, чтобы прийти к требуемому противоречию, достаточно
предположить существование лишь одного такого состояния. До размножения
вектор состояния системы "организм плюс питательная среда" имеет вид
Ф= v X w, (I)
где X означает прямое (кронекеровское) произведение. После того как
размножение произошло, вектор состояния должен иметь вид
Ч,= "Х"Хг, (2)
') По поводу понятия "случайное вырождение" см, гл. XII книги Вигнера
[6].
2) См. в работе [4] гл. V.
164
III, Квантовая механика
т. е. должны появиться два организма, у каждого из которых вектор
состояния равен v. Вектор г описывает ту часть системы, которая не вошла
в два организма, т. е. еще не использованную питательную среду, а также
положение (координаты) обоих организмов и т. д. Введя систему координат в
гильбертовом пространстве, запишем размножение (2) в виде
Первый индекс (х) означает переменные, описывающие ту часть системы,
которая содержится в "родителе"; второй индекс (X) - переменные,
описывающие часть системы, входящую в "дитя"; последний индекс (р) -
переменные, описывающие еще не использованную питательную среду. В той же
системе координат вектор состояния (1) можно представить в виде
двойной индекс характеризует состояние питательной среды.
Введем теперь те два допущения, о которых упоминалось в начале раздела, и
тем самым уточним терминологию. Второе (и менее важное) из этих допущений
состоит в замене гильбертова пространства конечномерным пространством. В
частности, пространство состояний организма будет /V-мерным, пространство
состояний неиспользованной питательной среды - /?-мер-ным. Тогда каждый
из индексов х и X сможет принимать N значений, а индекс р будет пробегать
R значений. Состояние организма будет описываться вектором в /V-мерном (а
не в бесконечномерном) пространстве. Поскольку никаких ограничений на
величину N и R мы не налагаем, обе размерности следует считать очень
большими (это предположение достаточно безобидно). Оно существенно
облегчает проведение математического анализа и может быть обосновано,
поскольку в силу конечности имеющихся запасов энергии число состояний
обеих частей системы ограничено. Состояние питательной среды описывается
вектором в A'AJ-мерном пространстве, т. е. это состояние специализировано
сильнее, чем состояние организма. На первый взгляд такое положение может
показаться странным, но оно должно соответствовать действительности,
поскольку жизнь и размножение организма связаны с возрастанием энтропии,
т. е. конечное состояние должно быть менее специализировано, чем
начальное.
Более существенное и более спорное допущение состоит в том, что "матрица
столкновения", описывающая конечное состояние, которое возникает в
результате взаимодействия организма и питательной среды, и обозначаемая
нами буквой S, не имеет никакцх особых свойств, кроме того, что она
стохастична.
(3)
= "*"v,
(4)
//. Вероятность существования самовоспроизводящейся системы 165
Поскольку матрица 5 переводит вектор Ф [см. разложение (4)] в вектор ф1
[см. разложение (3)], справедливо равенство .
УиУлГц = 2 н'1'u'VkWi'h'. (5)
и', Л', |i'
Матрица S, если можно так выразиться, служит воплощением законов
взаимодействия между любым состоянием материала, из которого состоит
организм, и любым состоянием материала, служащего питательной средой.
Выражение "любое состояние", разумеется, следует понимать в свете
предыдущего замечания: любое из заданного конечного числа состояний.
Матрица S полностью определяется законами квантовой механики. С точки
зрения Эльзассера, матрицу 5 реально вычислить невозможно. Спрашивается:
если матрица S задана, можно ли в общем случае найти N чисел vw которые
вместе с надлежащим образом подобранными R числами гп и NR числами да*.и
удовлетворяли бы равенству (5)? Ответ на этот вопрос мы найдем, просто
подсчитав число уравнений и число неизвестных. Как мы увидим, уравнений
окажется больше, чем неизвестных.
Действительно, поскольку равенство (5) должно выполняться при любых х, X
и р, мы имеем всего N2R комплексных или 2N2R вещественных уравнений.
Среди них, поскольку число /V2 чрезвычайно велико, встречаются и
тождества, но мы не будем обращать на это внимание. Подсчитаем теперь
число неизвестных: N компонент вектора о, R компонент вектора г и NR
компонент вектора да. Всего имеется N + R + NR комплексных или вдвое
большее число вещественных компонент. Это гораздо меньше числа уравнений,
и "было бы чудом", если бы уравнения (5) оказались выполненными.
Предыдущие выкладки, очевидно, нельзя принимать всерьез, потому что
