Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
времени. Эти выражения, так же как и их обобщения на случай, когда
собственным числам <7а'> q^\ ... отвечает по. несколько собственных
векторов, вывел еще фон Нейман. При рассмотрении кратных собственных
значений удобно ввести проекционные операторы для каждого собственного
значения qW гейзенберговского оператора Q^. Если PjK - такой оператор, то
вероятность появления последовательности результатов измерения <7<й, q^\
..., q<?> равна
(Рпц • • • Рп\1 • • • Р2$Рla(r))' (12)
154
111. Квантовая механика
Выражения (11) и (11а) можно получить также, приняв постулат о том, что
вектор состояния переходит в всякий раз, когда при измерении величины QW>
получается число qU\ Действительно, утверждение "вектор состояния
совпадает с яри'" есть не что иное, как краткое выражение именно того
факта, что в результате последнего произведенного над системой измерения
величины QW получено число q*)- В случае простых собственных чисел вектор
состояния зависит лишь от результата последнего измерения, и будущее
поведение системы не зависит от всей ее предыстории. Иначе обстоит дело,
если собственное значение qd) кратно.
В этом случае наиболее простое выражение для вектора состояния в
представлении Гейзенберга при условии, что /-е измерение дало число имеет
вид
Ры ¦¦¦ Л-рЛаФ (12а)
[вектор (12а) необходимо еще надлежащим образом нормировать]. Если
выражение (12а) после нормировки не зависит от начального вектора
состояния Ф, то число измерений достаточно для полного описания состояния
системы, и мы получаем чистое состояние. Если же вектор (12а) после
нормировки все еще зависит от начального вектора состояния Ф, а сам
начальный вектор неизвестен, то состояние системы есть смесь состояний
(12а) со всеми возможными Ф. Измерение единственной величины Q, все
собственные значения которой невырождены, достаточно для того, чтобы
привести систему в чистое состояние, хотя сказать заранее, в какое из
чистых состояний перейдет система, в общем случае невозможно.
Итак, из наших рассуждений следует, что в векторе состояния в сжатом виде
запечатлена та часть нашей информации о прошлом системы, которая
существенна для предсказания (насколько это возможно) ее поведения в
будущем. Кстати сказать, аналогичную роль играет и матрица плотности.
Единственное различие состоит в том, что она предсказывает будущее
системы не столь полно, как вектор состояния. Итак, мы заключаем, что
законы квантовой механики позволяют получить лишь вероятностные
корреляции между результатами последовательных наблюдений, производимых
над системой. Правда, законы классической механики также можно
сформулировать в терминах вероятностных корреляций между последовательно
проводимыми измерениями, но они допускают и другую формулировку - в
терминах объективной реальности. Законы же квантовой механики - и это
очень важно.- формулируются лишь в терминах вероятностных корреляций.
10. Проблема измерения
155
ПРОБЛЕМЫ ОРТОДОКСАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
Несовместимость интуитивной интерпретации законов квантовой механики с
уравнениями движения и, в частности, с принципом суперпозиции может
означать необходимость сохранения лишь ортодоксальной интерпретации, но
может иметь и другой смысл - означать необходимость отказа от принципа
суперпозиции. Для этого можно воспользоваться различными способами: тем,
который был указан Людвигом, способом, предложенным мной, или каким-то
третьим, еще неизвестным способом. Дилемма, с которой мы сталкиваемся при
осуществлении нашей программы, делает желательным анализ всех слабых мест
в логическом обосновании ортодоксальной интерпретации. Такому анализу и
посвящается этот последний раздел нашей статьи.
В логическом обосновании ортодоксальной теории я считаю наиболее уязвимым
чисто абстрактное постулирование взаимодействий, указанных стрелками в
соотношениях (1) или (4). Никто всерьез не верит в существование
измерительного прибора для некоторых, а в действительности для
большинства наблюдаемых (таких, как хург). Можно даже показать, что ни
одну наблюдаемую, не коммутирующую с аддитивными сохраняющимися
величинами (например, с импульсом, угловым моментом или с электрическим
зарядом), нельзя измерить точно, и для увеличения точности измерения
необходимо пользоваться измерительным прибором огромных размеров.
Простейшее из известных в настоящее время доказательств этого утверждения
дали Араки и Яназе [43]*). С другой стороны, большинство величин, в
измеримость которых мы твердо верим, и заведомо все наиболее важные
величины (например, положение, импульс) не коммутируют со всеми
сохраняющимися величинами, и их измерение нельзя осуществить с помощью
микроскопического прибора. Отсюда возникает подозрение, что
макроскопическая природа измерительного прибора принципиально необходима,
и у нас снова пробуждаются сомнения в справедливости принципа
суперпозиции для процесса измерения, которые и раньше были связаны с
макроскопической природой прибора. Вектор состояния (2) системы "объект
