Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
смесью состояний Ч^*) (за исключением того случая, когда лишь один из
коэффициентов а отличен от нуля). Чтобы смесь состояний Ф<р> была смесью
состояний ЧЛ^, должно выполняться необходимое условие: состояния Ч^)
должны быть линейными комбинациями состояний Ф<р>. Если это условие
выполнено, то всегда можно найти коэффициенты и, такие, что
2 xfk) [Л'рр> х с/111] = 1Р(р'г) = 2 "рф<р) = 2 Mt,av \Ат X c(v)]. (8)
Р Р Р. V
В силу линейной независимости Л<ру> из этого равенства имеем
uPav = 6vpxpP,i); (8а)
последнее же соотношение не может выполняться, если более чем один
коэффициент а отличен от нуля. Отсюда следует, что предположение о
возникновении после измерения состояния системы "объект плюс прибор",
представимого в виде смеси состояний, каждое из которых соответствует
строго определенному
152
III. Квантовая механика
положению стрелки, противоречит квантовомеханическим уравнениям движения.
Итак, мы с необходимостью приходим к выводу о том, что измерения,
оставляющие систему "объект плюс прибор" в одном из состояний с
определенным положением стрелки, нельзя описать с помощью линейных
законов квантовой механики. Следовательно, если такие измерения
существуют, то квантовая механика верна лишь в ограниченных пределах.
Такое заключение должно быть известно многим, хотя только что
проведенного подробного доказательства до сих пор никто не давал. Людвиг
в Германии и автор настоящей статьи независимо высказали предположение о
необходимости такой модификации квантовомеханических уравнений движения,
которая бы допускала описание вышеупомянутого типа измерений [41, 42].
Это предложение до сих пор подробно не обсуждалось, потому что оно было
высказано лишь как предположение и в настоящее время еще не имеет
доказательной силы. И хотя оно вполне может оказаться правильным, все же
приходится признать, что пока единственно обоснованной среди известных
теорий измерения нужно считать ортодоксальную теорию. Из такого признания
с необходимостью следует дуалистическая теория изменений вектора
состояния, и в частности редукция вектора состояния. Однако на ранее
поставленный вопрос мы должны ответить утвердительно: существует [41, 42]
непрерывный переход между вектором состояния (2), полученным на основе
ортодоксальной теории, и необходимой смесью состояний (3), постулируемой
более интуитивной теорией измерения.
ЧТО ТАКОЕ ВЕКТОР СОСТОЯНИЯ?
Вектор состояния играет настолько важную роль в формулировке
квантовомеханической теории, что эту роль желательно обсудить подробнее.
Кроме того, нам необходимо знать, каким образом можно определить вектор
состояния. Поскольку (согласно квантовой механике) вся информация
получается в форме результатов измерения, стандартный способ получения
вектора состояния также сводится к проведению измерений над системой ').
') Существуют, однако, и другие способы, позволяющие привести систему в
определенное состояние. Они основаны на том обстоятельстве, что малая
система, взаимодействуя с большой системой, находящейся в определенном и
хорошо известном состоянии, сама может почти с абсолютной достоверностью
переходить в определенное состояние. Так, возбужденный атом водорода,
если его поместить в большой контейнер, внутри которого нет излучения, с
вероятностью, почти равной единице, передаст всю свою энергию полю
излучения контейнера и перейдет в основное состояние. На этот способ
"приготовления" ростояний особое внимание обращал Маргенау.
JO. Проблема измерения
153
Чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо прежде всего вывести
формулу для вероятности того, что последовательные измерения,
производимые над системой, приведут к некоторым заранее заданным
результатам. Мы выведем формулу вероятности и в представлении Шредингера
и в представлении Гейзенберга. Пусть над системой в моменты времени tlt
tz, • • •, tn производится п последовательных измерений. Обозначим через
Qi, Qz, ..., Qn операторы измеряемых величин в представлении Шредингера.
Собственные векторы этих операторов будем обозначать буквой ф с
соответствующими верхними индексами, а собственные значения - буквой q.
Тогда
Qft* = (9)
В представлении Гейзенберга измеряемым величинам (если измерения
производились в соответствующие моменты времени) отвечают операторы
пн iHtin -iHt,
Qi = e iQje /¦ (10)
Их собственные векторы мы обозначим через ср(Д где
Фи' = Qf фи' = qli''фи'. (Юа)
Если Ф ¦- начальный вектор состояния, то вероятность появления
последовательности q^\ q^, ..., q{?] результатов измерения равна квадрату
модуля выражения
(е-гн/,ф, фШ)(е-гяф<2))... (е-<я ^ (i!)
То же выражение с помощью собственных векторов операторов в представлении
Гейзенберга записывается проще:
(Ф, ф{|>)(ф">, ф^2)) ... (Ф^-1", ф<">). (11а)
Следует заметить, что искомая вероятность не определяется п
гейзенберговскими операторами Q** и их собственными векторами: результат
существенно зависит от последовательности проводимых измерений во
