Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
данными, подтверждающими правильность замечаний Плачека о приближенном
характере наших диффузионных уравнений.
Особого различия между эффектом влияния химической связи на рассеяние
нейтронов в конечной и в бесконечной решетках не существует. Что же
касается вероятности р превращения нейтрона с энергией, лишь чуть меньшей
порога деления, в теп-
8. Теоретическая физика в Металлургической лаборатории
125
ловой нейтрон, то в конечной решетке она меньше, чем в бесконечной:
помимо захвата ядрами урана, некоторые нейтроны будут покидать конечную
решетку за счет "утечки" (диффузии) из нее. Эта утечка была рассчитана
Ферми и его сотрудниками [7, 8] еще до того, как было открыто деление
урана. Для конечной решетки они получили величину
Рэфф = рехр ( -та2), (2)
где т - Уб среднего квадрата расстояния между точкой бесконечной решетки,
в которой нейтрон рождается, и точкой, в которой он становится тепловым.
К обсуждению величины х2, равной отношению -Дп/п, где п - плотность
нейтронов, усредненная по ячейке решетки, мы сейчас перейдем.
Из формулы (2) ясно, что эффективное значение величины р меньше ее
значения при постоянной плотности нейтронов п в бесконечной решетке, т.
е. при х = 0. Утечка зависит от "возраста" нейтронов т, который, в свою
очередь, растет с увеличением средней длины свободного пробега нейтронов
в замедлителе и числа столкновений, необходимых для замедления нейтронов
до тепловых энергий. Следовательно, величина т имеет наименьшее значение
для реактора с водяным замедлителем и намного большее значение для
реактора с графитовым замедлителем.
Подобно тому как вследствие утечки доля нейтронов, замедляемых до
тепловых энергий, в конечной решетке меньше, чем в бесконечной, доля
нейтронов, поглощаемых ураном, также убывает из-за вылета некоторых
тепловых нейтронов из реактора. Соотношение, аналогичное (2), имеет вид
/эфф = f (1 + IpX2) 1. (3)
Величина х в формуле (3) имеет тот же смысл, что ив (2). Величина Lp
аналогична величине т в формуле (2), т. е. возрасту нейтрона: она равна
*/б среднего квадрата расстояния между точкой бесконечной решетки, в
которой нейтрон становится тепловым, и точкой, до которой он успевает
дойти, прежде чем будет поглощен. Величина Lp называется диффузионной
длиной тепловых нейтронов в данной решетке потому, что в области, где
тепловые нейтроны не образуются, п экспоненциально спадает на расстоянии
Lv:
n~exp(-x/Lp). (4)
Пласс в работе, во многом перекликающейся с работой Бардина [9] о
волновых функциях в металлах, показал, что выражение
Lp = Lm (1 - /) (5)
126
II. Ядерная энергия
дает очень хорошее приближение для Lp, если под Lm понимать диффузионную
длину в чистом замедлителе без урана.
Условие, что решетка может поддерживать цепную реакцию в стационарном
режиме, имеет вид /еЭфф = 1, т. е.
^эфф = 6Pэффfэфф^^ ~ (б)
Подставляя в (6) рЭфф и /Эфф из (2) и (3), получаем ер/г|ехр( - тх2)(1 +
L2x2)-1 = 1,
или, если воспользоваться соотношением (1),
Рте = (1+L2x2)exp(xx2). (7)
Это выражение эквивалентно тому, которое ранее было получено Ферми.
Последнее соотношение можно рассматривать как уравнение относительно х.
Эта величина, как мы увидим, зависит лишь от размеров и формы реактора.
Следовательно, соотношение (7) дает нам размеры реактора, если его форма
и внутренняя структура, в частности его коэффициент размножения
бесконечной решетки kоо, заданы.
Связь между величиной х и размерами и формой реактора определяется
классическим уравнением
А п + %2п = 0. (8)
Средняя плотность нейтронов п, помимо уравнения (8), должна удовлетворять
краевому условию: обращаться в нуль на внешних границах реактора.
Известно, что краевая задача для уравнения (8) допускает решения лишь при
определенных дискретных значениях х2, зависящих от размеров и формы
области, на границе которой плотность п должна обращаться в нуль, т. е.
от размеров и формы реактора. Лишь при наименьшем из всех возможных х2
средняя плотность нейтронов п всюду положительна, и именно это наименьшее
значение х2 и входит в (7). Уравнение (8) сопоставляет эффективное
значение х~' каждому размеру и каждой форме реактора, а (6) показывает,
как это эффективное значение влияет на эффективный коэффициент
размножения. Если значение х для реактора, получающееся из уравнения (8),
меньше решения уравнения (7), то реактор находится в подкритическом
состоянии, его эффективный коэффициент размножения меньше 1. Если же
решение уравнения (7) больше значения х, удовлетворяющего уравнению (8),
то реактор надкритичен.
; Входящая в (8) величина п означает среднюю плотность ней-
эшрнспнэ^усреднение производится по элементарной ячейке), кт". уравнение
(8) для такой средней величины может
8, Теоретическая физика в Металлургической лаборатории
127
быть точным лишь в том случае, если это среднее при переходе от одной
ячейки к другой меняется не слишком быстро. Связь средней плотности п из
уравнения (8) с истинной плотностью нейтронов аналогична связи
