Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
подтверждением обоснованности
') См. также работы [2-4].
306
Дополнение
наших сомнений, мы все же считаем необходимым начать с совершенно общей
формулировки своей позиции.
Как мы думаем, весь вопрос определяется тем, что можно сказать
относительно измеримости полевых операторов. Действительно, если поле
измеримо, то математическое ожидание любого его состояния должно иметь
вполне определенное значение. Ситуация в этом случае эквивалентна
классической, когда мы вправе утверждать существование определенного
закона преобразования лишь потому, что поля считаются вполне
определенными физическими величинами. Однако если какая-нибудь полевая
величина неизмерима (а, как мы увидим ниже на примере дираковского поля,
такие величины встречаются), то отпадает логическая необходимость в
существовании закона преобразования, не содержащего ни одного
неопределенного элемента.
Допущение о том, что "все эрмитовы операторы соответствуют измеримым
величинам", нередко с полным основанием называют неотъемлемой частью
общей схемы квантовой механики. Верно и то, что в случае обыкновенной
(нерелятивистской) квантовой механики частиц это допущение, как бы
неправдоподобно оно ни звучало для всех операторов, кроме наиболее
простых, не встречает сколько-нибудь серьезных возражений. Однако вряд ли
необходимо подчеркивать, что перенесение целиком постулата об измеримости
на физические абстракции, которыми оперирует современная полевая теория
"элементарных" частиц, является чудовищной и ничем не оправданной
экстраполяцией, в особенности если учесть чрезвычайно низкий уровень
наших знаний истинных законов взаимодействия частиц.
Изложенная только что позиция внутренне непротиворечива. Это станет
ясным, если принять во внимание возможность построения логических схем,
не содержащих постулата об измеримости величин, отвечающих всем без
исключения эрмитовым операторам. То обстоятельство, что природа таких
схем до сих пор широко не обсуждалась, особенно удивительно, если
вспомнить об общеизвестной неизмеримости дираковского поля.
Более точно нашу мысль можно сформулировать так. Согласно обычному
допущению квантовой механики, можно произвести "полный" набор измерений,
результат которых (с точностью до тривиального фазового множителя)
полностью определяет вектор состояния F. Предположим теперь вместо этого,
что гильбертово пространство можно разбить на ряд ортогональных
подпространств А, В, С, ..., обладающих следующим свойством:
относительные фазы проекций вектора F на А, В, С, ... физически
несущественны. Иначе говоря, предполагается, что если эти проекции
(которые сами являются векторами)
24. внутренняя четность элементарных частиц
307
обозначить Fa, Fb, Fс, . . ., то никакое физическое измерение не сможет
отличить вектор состояния
Fa + Fb + Fc+ ... (7)
от вектора состояния
eiaFa + e^Fb + e'yFc+ ..., (7а)
где а, р, у, ... - произвольные фазы. Отсюда ясно, что среднее значение
любого оператора, матричные элементы которого связывают подпространства А
я В или Л и С и т. д., вообще говоря, полностью неопределенно.
Следовательно, такому оператору никакая измеримая величина не отвечает.
Такое допущение не противоречит другим правилам квантовой механики, и в
частности принципу суперпозиции: линейное соотношение между векторами
сохраняется, если все векторы одновременно подвергаются преобразованию
(7а). Последнее преобразование можно рассматривать как обобщение обычного
умножения вектора на один фазовый множитель.
Другой, более знакомый способ описания этой ситуации состоит в следующем.
Говорят, что состояние (7а) является не чистым состоянием, а
статистической смесью, которую лучше всего описывать матрицей
плотности1). Согласно принятому выше допущению, матрица плотности
содержит максимально возможное количество информации. Разумеется,
рассматриваемая нами система может находиться в чистом состоянии,
понимаемом в обычном смысле, но только в том случае, если лишь одна из
компонент (например, Fa) отлична от нуля. При этом унитарный оператор /,
выражающий одну из допускаемых системой операций симметрии, будет
определен с известным произволом. Обычно же оператор I не имеет матричных
элементов, связывающих подпространства А, В, С, . .., и оставляет
инвариантным каждое из названных подпространств. Следовательно, матрицы
оператора / в каждом из подпространств А, В, ... содержат произвольный
множитель соа, to*, ... аналогично тому, как содержит произвольный
множитель оператор /, действующий во всем пространстве. Поскольку
волновые функции (7) и (7а) эквивалентны, определить отношения множителей
ша, а>ь, ... невозможно, и вместо одного неопределенного фазового
множителя нам приходится вводить столько таких множителей, сколько
имеется подпространств А, В, ... . Это означает, что мы не можем
сравнивать четность состояний, принадлежащих различным подпространствам.
Если векторы состояния каждого подпространства ортогональны ко всем
