Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
0ф(р1; р2, рз) = Сф*(- рь -р2, Рз), (17)
где С - матрица, действующая на переменные | и удовлетво-
ряющая соотношениям
Су°* = у°С ("=1, 2, ..., 2s);
>
Если матрицы у0, у2, у3 вещественны, то матрица у1 - мнимая.
СУа=~ч1С (а = 1, 2, . . ., 2s; /г = 1, 2, 3). (17а)
С=ПуЙ с2 = (-1)2*. (176)
а=1
Поскольку матрица С, как следует из определяющих ее соотношений,
вещественна, мы получаем также, что 02 = (-l)2s. Последнее соотношение
справедливо независимо от .выбора
22. Локализованные состояния элементарных систем
287
у-матриц. Оператор инверсии пространственных координат / имеет вид
MPj. Pv Рз) = Y?V§ • • • VL'K- Pv ~Pv -Рз) (18)
и коммутирует с оператором Еа, определяемым по формуле
(14).
Чтобы построить систему волновых функций, инвариантных относительно
вращений, прежде всего определим аналог чисто спиновой функции для
релятивистских уравнений (13). Для этого определим вспомогательные
функции vm, не зависящие от Рь Р2, Рз и содержащие одни лишь спиновые
переменные Функции vm удовлетворяют уравнениям
4lvm = vm (а=1, 2, ...,2s) (19)
и
J 1 S YaYaUm = mVm (ш = ~ S, ~ S + I, . . ., S - I, s). (19a)
a
Поскольку матрицы у0 и iy]y2 коммутируют, их временно можно считать
диагональными. Из уравнения (19) следует, что функции vm отвечают
собственному значению +1 матрицы у0. Таких функций 22s, однако нас
интересуют лишь симметричные функции переменных §, а их всего лишь 2s +
1. Друг от друга эти функции отличаются значением индекса пг: функция vm
имеет отличные от нуля компоненты лишь при таких |, для которых s + m
матриц гу'у2 равны +1, а остальные s - m матриц равны --1. При таких |
значение vm равно
/ (s + m)! (s-m)\ \'h 9_s I (2s!) j Z '
следовательно, функция vm нормирована в том смысле, что
2К|2=Е^=1. (196)
Физически индекс m соответствует спиновому угловому моменту относительно
оси хг. Четность функции vm в силу соотношений (19) и (19а) положительна.
Функции vm не являются допустимыми, поскольку не удовлетворяют волновым
уравнениям (13), поэтому мы определим спиновые функции следующим образом:
vm (pit p2t p3t ?l" - • •, ?2s) = Evm (tn = - s, ..., s). (20)
Функции Vm - допустимые волновые функции с положительной четностью и
отвечают состоянию с угловым моментом mh
288
Дополнение
относительно третьей оси координат. Их нормировка отличается от (196):
Наиболее общее решение уравнений (13) представимо в виде линейной
комбинации функций Vm с произвольными коэффициентами, зависящими от р\,
р% рз¦ Систему волновых функций, инвариантных относительно вращений и
отражений, образуют волновые функции
Здесь р, Ф, ф вновь означают сферические координаты в пространстве р\ р2,
р3, fi - произвольные неизвестные функции модуля р. Если системе функций,
обладающей перечисленными выше свойствами инвариантности, принадлежит
какая-то одна функция вида (21), то ей принадлежат и все остальные
функции того же вида с различными т, но одним и тем же множителем /;.
Суммирование по I проводится по всем четным значениям от |/ - s| до / +
s, если ф; должна обладать положительной четностью, и по нечетным I - в
противном случае. Величины S(l,s) -обычные коэффициенты1), позволяющие
получать полный момент / из волновых функций с заданным "орбитальным
моментом" I и "спиновым моментом" s.
Поскольку полярные углы Ф, ф при р = 0 неопределены, множитель fi(p) при
р = 0 должен обращаться в нуль (исключение составляет случай 1 = 0),
иначе функция \|^т имела бы при р = 0 особенность, и к ней нельзя было бы
применять оператор M0h [напомним, что отношение (8) должно быть
ограниченным; в действительности, ограниченность этого отношения
необходимо постулировать не только для оператора M0h, но и для его
квадрата]. Итак, если ряд (21) не содержит члена с I = 0, то функция ф_,-
т при р = 0 обращается в нуль. Однако из равенства (16) следует, что фщп
не может обращаться в нуль при р = 0, если масса покоя отлична от нуля.
Следовательно, разложение всякой локализуемой волновой функции должно
содержать член с / = 0. Это, в свою очередь, происходит, если j = s и
волновая функция обладает положительной четностью.
') См., например, книгу Вигнера [15]. Построение функций фь из функций Уп
и сферических гармоник Р1т по существу ничем не отличается от построения
функций с определенным значением J, зависящих от пространственных
переменных и спина, из спиновых функций с определенным S и из функций,
зависящих лишь от пространственных переменных и обладающих определенным
L. Способ построения разъяснен , в гл. XXII. Коэффициенты связи,
обозначенные у нас S(l,s), в книге обозначены st-LS\
(20а)
Фм = Д S(l, s)
I, т'
/, т - пг', т'
к,(2D
22. Локализованные состояния элементарных систем 289
Если же функция \pjm имеет отрицательную четность, то в разложение (21)
входят лишь /ь /3, • • •, а эти множители при р = = 0 обращаются ъ нуль.
Итак, все волновые функции, локализованные в начале координат, имеют
угловой момент j = s и представимы в виде
= S 2 S V, s) (". ") f,Vm" (21а)
