Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
выражением (2). С точностью до постоянной она имеет вид [14]
У(г)=(-^)5/4М?(/рг) (9а)
При г-> оо функция 'F(r) стремится к нулю как е~^т\ при г~>0
она стремится к бесконечности как г~ь>к Волновая функция
284
Дополнение
(9а) квадратично не интегрируема, поскольку принадлежит непрерывному
спектру.
Действуя оператором сдвига на функцию (9), получаем для волновой функции
состояния, локализованного в момент времени t = 0 в точке х1, х2, х3,
выражение
Т (- х) ф = (2я)~3/До2 exp [ - i (plxl + р'гх2 + р3х3)] =
= (2я)~3/г р'1ге~1 iPX).
Последнее должно быть собственной функцией оператора qh координаты k,
отвечающей собственному значению хк. Оператор qk определяется,
следовательно, так:
QkФ (р) = (2я)_3 | р'^е-'^хк (р')'/г X
Хе-'^Ф {р')^~~, (10)
Р о
где dx и dp' означают соответственно dxldx2dx3 и dp[dp'2dp'3t Известно,
что оператор (10) можно представить в виде
XiJ p'ueiiP'-P)x y(p')dxdp' = -i(^ + -^q>{p). (И)
Эти выражения справедливы как для ненулевой, так и для нулевой массы
покоя. Интересно, что оператор qh после перехода из импульсного в
координатное пространство приобретает сравнительно простой вид
+ -ПГ--Л у *>¦ <12>
Здесь х и у означают пространственные части 4-векторов xv- и yv, a dy -
интегрирование по у\ у2, у3. Обычный оператор qh содержит лишь первый из
указанных в (11) членов.
Следует заметить, во-первых, что операторы координат, к которым с
необходимостью приводят наши постулаты, коммутируют друг с другом,
вследствие чего для сравнения можно пользоваться только случаем "е",
указанным в работе Прайса (наши операторы qh тождественны его операторам
qh). Во-вторых, состояние, локализованное в начале координат в одной
координатной системе, не локализовано в движущейся системе координат,
даже если в момент времени t = 0 начала обеих систем совпадают. Отсюда
следует, что наши операторы qh не имеют простого ковариантного смысла при
релятивистских пре-
22. Локализованные состояния элементарных систем
285
образованиях. Лишены простого ковариантного смысла и обычные операторы
qh. Более того, хотя на первый взгляд кажется, что волновая функция Ф(лг)
= 6(х) инвариантна относительно релятивистских преобразований,
оставляющих неподвижным начало координат, в действительности это не более
чем "математический мираж". Убедиться в "призрачности" инвариантности б-
образной волновой функции лучше всего, записав 6-функцию в импульсном
пространстве путем обращения формулы (2). Результат такого преобразования
ро, действительно, имеет простой ковариантный смысл, но не является
квадратично интегрируемой функцией. Если же мы попытаемся
аппроксимировать его квадратично интегрируемой функцией, например фа = р0
ехР (-"2Ро), т0 °браз при преобразовании Лоренца не будет стремиться к с
ростом а. В самом деле, если ар <с 1, то скалярное произведение функции
фа и ее образа при преобразовании Лоренца не будет зависеть от а и
превышать норму ф0.
ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ И НЕНУЛЕВОЙ МАССОЙ ПОКОЯ
Воспользуемся еще раз описанием, предложенным в работе [12], т. е.
определим волновые функции на положительной поле гиперболоида р% = р\ +
р\ + р\ + р2 и дополним переменные рь р2, рз спиновыми 2s переменными gi,
g2, • • •, hs, каждая из которых содержит 4 компоненты. Волновые функции,
отвечающие различным состояниям системы, будут симметричными функциями
спиновых переменных g и будут удовлетворять 2s уравнениям
Непротиворечивость этой системы уравнений была доказана в работе [12].
Действующие на ga матрицы у устроены так, что две матрицы уа с различными
первыми индексами коммутируют, а с одинаковыми первыми индексами
удовлетворяют известным соотношениям
Существенное различие между рассматриваемым случаем и бес-спиновыми
ча'стицами состоит в том, что допустимые волновые функции должны не
только быть заданы на положительной поле гиперболоида, но и удовлетворять
уравнениям (13). Первому требованию мы удовлетворим, выбрав в качестве
независимых переменных р\, р2, Рз- Выполнить же второе требование не
столь просто. Построить волновые функции, обладающие всеми упомянутыми
свойствами, нам поможет один прием,
2 Y2М> = М>. а = 1, 2, . . ., 2s.
X
(13)
УаУа + УаУа = 2§М-
(13а)
286
Дополнение
особенно успешно применявшийся Шредингером [5]. Определим операторы
?а = |0о) + (14)
Каждый из них является проекционным оператором:
Еа = Еа>
и функция ?аф автоматически удовлетворяет соответствующему уравнению
(13). Обозначим произведение всех операторов Еа через Е:
Е = Е{Е2 . . . E2s, (14а)
тогда ?ф - допустимая функция, удовлетворяющая всем уравнениям (13).
Скалярное произведение выберем в виде
(ф, ф)= [ p-2s-]^^cpdp. (15)
I
При таком определении скалярного произведения из постулата "в" и того
обстоятельства, что формула (6) остается в силе и в рассматриваемом
случае, сразу же следует, что всякая волновая функция, локализованная в
начале координат, удовлетворяет аналогу формулы (7):
2 | ф|2 = (2я)_3 p2s+I. (16)
Оператор обращения времени имеет вид
