Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
В случае, когда мы ограничиваемся рассмотрением элементарной системы,
физическая интерпретация искомых операторов однозначна: если речь идет об
одной элементарной частице, то эти операторы отвечают ее координатам;
если же имеется несколько частиц, то операторы соответствуют координатам
центра масс. При рассмотрении же неэлементарной системы интерпретация
искомых операторов неединственна, и принятые нами постулаты не приводят к
однозначно определенному набору операторов.
Прежде чем приступать к изложению наших результатов, упомянем о других
исследованиях, проводившихся с аналогичными целями. Проблему центра масс
в теории относительности рассматривали на основе классической механики
Эддингтон [2] и Фоккер [3]; их работа была оценена по достоинству, Прайс
[4] дал квантовомеханическое обобщение полученных ими результатов; в
дальнейшем нам еще неоднократно придется ссылаться на работу Прайса.
Идеи, близкие к высказанным в работе Прайса, впервые выдвинул Шредингер
[5, 6], а позднее - Фин-кельштейн [7] и Меллер [8]').
Настоящая статья возникла как результат повторного исследования
неприводимых представлений пространства де Ситтера [10], предпринятого
одним из авторов [11]. Эти представления находятся во взаимно однозначном
соответствии с релятивистски инвариантными волновыми уравнениями для
элементарных систем в пространстве де Ситтера. В итоге исследования
удалось выяснить, что физический смысл полученных уравнений был бы
намного прозрачнее, если бы операторы координат можно было найти на
основе теоретико-групповых соображений. Первоначально эту программу
решено было осуществить для плоского пространства. Полученные результаты
излагаются ниже.
ПОСТУЛАТЫ ДЛЯ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ состоянии И ОПЕРАТОРЫ КООРДИНАТ
Записать оператор координат было бы совсем нетрудно, если бы была
известна волновая функция состояния (или состояний), у которого при t = 0
все три пространственные координаты обращаются в нуль. Если ф- такая
функция и Т(а) - оператор сдвига на ах, ау, az, at вдоль соответствующих
координатных осей, то волновая функция Г(а)ф отвечает состоянию,
') См. также работу [9].
280
Дополнение
для которого в момент времени at пространственные координаты принимают
значения ах, ау, az. Таким образом, зная волновые функции,
соответствующие состоянию х = у = г = 0 при / = 0 (и операторы сдвига),
мы тем самым знаем все локализованные состояния, т. е. все собственные
функции операторов координат. Отсюда уже нетрудно получить операторы
координат. Учитывая все сказанное, мы сосредоточим свое внимание на
получении волновых функций тех состояний, которые в момент времени / = 0
локализованы в начале координат.
Будем считать, что состояния, представляющие систему, локализованную при
/ = 0 в точке х = у = z = 0, удовлетворяют следующим постулатам:
а) они образуют линейное векторное пространство S0, т. е. суперпозиция
двух таких локализованных состояний локализована так же, как состояния-
слагаемые;
б) пространство состояний S0 инвариантно относительно поворотов вокруг
начала координат и отражений (инверсий) как пространственных координат,
так и времени;
в) если состояние ф принадлежит к числу состояний, локализованных при t =
0 в начале координат, то в результате пространственного сдвига состояние
ф переходит в состояние, ортогональное всем состояниям, входящим в So;
г) позднее будут еще введены некоторые условия регулярности, смысл
которых сводится в основном к тому, что к рассматриваемым состояниям
должны быть применимы все инфи-нитезимальные операторы группы Лоренца.
Следует ожидать, что состояния, локализованные в определенных точках
пространства, по своим свойствам аналогичны функциям непрерывного
спектра, т. е. сами не принадлежат классу квадратично интегрируемых
функций, но являются пределами таких функций. Нам кажется, что
сформулированные выше постулаты служат достаточно разумным выражением
понятия локализации системы, и всякую систему, не удовлетворяющую
содержащимся в этих постулатах требованиям, естественно назвать
нелокализуемой.
Наши вычисления будут производиться для реализации элементарных систем,
описанной Баргманом и Вигнером [13]. Итак, приступаем к выкладкам.
БЕССПИНОВАЯ ЧАСТИЦА (ЧАСТИЦА КЛЕЙНА - ГОРДОНА)
Отыскание локализованного состояния в случае бесспино-вых частиц
происходит особенно просто. Мы приводим выкладки с некоторыми
подробностями лишь потому, что по существу те же этапы вычислений
встречаются и при рассмотрении частиц со спином.
22, Локализованные состояния элементарных систем 281
В данном случае волновые функции определены на положительном поле
гиперболоида
р1 = р1 + р1 + р1 + и\
и в качестве независимых переменных мы выбираем р\, р2, рз-В любой
формуле р0 означает (р\ + р\ + р\ + \х2р2. Инвариантное скалярное
произведение имеет вид
(ф Ф) = J J / ('Р" Рь Ф ('Р" Р2' Рг) dPl dp2 dPl (!)
Волновая функция Ф в координатном пространстве записывается следующим
образом:
Ф(*', *2, х3, х°) = (2л)~*/2 | ф (р" р2, рз) X
