Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
механике состояниям отвечают векторы
в некотором абстрактном пространстве, а физическим величи-
нам, таким, как координата, импульс и т. д., - операторы, действующие на
эти векторы. Например, из инвариантности относительно вращений следует,
что для произвольно заданного состояния ф существует другое состояние
фа, которое выглядит
точно так же, как ф в системе координат, получающейся из исходной в
результате поворота на угол а вокруг оси Z. Обозначим через Za оператор,
переводящий ф в фа. Состояние, в которое переходит ф по истечении
промежутка времени т, обозначим Нхф (схематически все операции
представлены на фиг. 1). В силу инвариантности относительно вращений фа
по истечении того же промежутка времени перейдет в состояние Яхфа,
которое во второй (повернутой) системе координат выглядит так же, как
Нхц> в исходной. Следовательно, это состояние можно получить из состояния
Нхф, подействовав на последнее оператором Za. Итак,
HxZa(f=-ZaHx(f, (1)
а поскольку это соотношение должно выполняться при всех ф, то
HxZa = ZaHx. (2)
Таким образом, оператор Za коммутирует с Нх, а это и означает, что Za
сохраняется. Действительно, угловой момент относительно оси Z совпадает с
пределом выражения
(1 /а) (Za-1). когда угол а стремится к нулю. Аналогично
можно вывести и другие законы сохранения. Следует подчеркнуть, что
операторы преобразования, по крайней мере инфини-тезимальные, играют
двоякую роль и сами являются сохраняющимися величинами.
У\\ту У Н r Iq. у, или 2сс н гу
X
Фиг. 1.
28
I. Симметрия и другие физические проблемы
На этом мы закончим рассмотрение геометрических принципов инвариантности.
Вы уже обратили внимание на то, что я ничего не сказал ни об отражениях
(инверсиях), которые помимо всего прочего приводят к понятию четности, ни
о заведомо более общем геометрическом принципе инвариантности, положенном
в основу общей теории относительности. Причина, по которой я не упомянул
об инверсии, состоит в том, что мне еще придется рассматривать ее в конце
работы. Причина, по которой я ничего не сказал об инвариантности
относительно произвольных преобразований координат, введенных общей
теорией относительности, заключается в том, что, по моему мнению, лежащая
в ее основе инвариантность носит не геометрический, а динамический
характер. Итак, приступим к рассмотрению динамических принципов
инвариантности.
ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ИНВАРИАНТНОСТИ
Изучая динамические принципы инвариантности, мы в основном находимся на
terra incognita. Тем не менее, поскольку некоторые из попыток развить
динамические принципы не лишены остроумия и достаточно успешны, а тема
эта сейчас представляет всеобщий интерес, я хотел бы сделать кое-какие
замечания. Начнем с наиболее понятного случая электромагнитных
взаимодействий.
Чтобы описать взаимодействие зарядов с электромагнитным полем, сначала
вводят несколько величин для описания электромагнитного поля - так
называемые электромагнитные потенциалы. Зная их, мы можем легко вычислять
компоненты электромагнитного поля, но обратное неверно. Более того,
потенциалы определяются полем неоднозначно: различные потенциалы
(отличающиеся на градиент произвольной функции) порождают одно и то же
поле. Отсюда следует, что потенциалы нельзя измерить, и, действительно,
измеримыми оказываются лишь величины, инвариантные относительно
преобразований, произвольно зависящих от потенциала. Разумеется, такая
инвариантность носит искусственный характер. Нечто аналогичное можно было
бы получить, введя в наши уравнения координаты какого-нибудь "духа":
уравнения должны были бы быть инвариантными относительно изменений
координат "духа", но в действительности никакой пользы от введения такой
величины мы бы не получили.
Аналогичная ситуация возникает и при замене полей потенциалами, если при
этом все должно остаться неизменным. Поэтому обычно поступают иначе:
постулируют (и в этом состоит решающий шаг), что для поддержания
неизменности физической картины каждое преобразование, переводящее один
набор
2. Симметрия и законы сохранения
29
потенциалов в другой, порождающий то же самое электромагнитное поле,
должно сопровождаться некоторым преобразованием поля материи. Комбинация
этих двух преобразований, из которых одно действует на электромагнитные
потенциалы, а другое - на поле материи, называется калибровочным
преобразованием. Поскольку калибровочное преобразование оставляет
физическую ситуацию неизменной, всякое уравнение должно быть инвариантным
относительно него. Однако если бы вид уравнений движения оставался
неизменным, мы пришли бы к противоречию. Оставаясь инвариантными, они
обладали бы абсурдным свойством: две абсолютно эквивалентные в один
момент времени физические ситуации некоторое время спустя превращались бы
в две существенно различные ситуации. Следовательно, уравнения движения
необходимо каким-то образом изменить. Проще всего это сделать с помощью
математического приема, называемого модификацией лагранжиана. Простейшая
