Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
постулирует эквивалентность всех направлений. Этот принцип был осознан
лишь после того, как люди поняли, что различие между понятиями "вверх" и
"вниз" обусловлено земным притяжением. Иначе говоря, вопреки только что
сказанному, событиями, между которыми законы природы устанавливают
корреляцию, являются не три положения брошенного камня, а три положения
камня относительно Земли.
Последняя симметрия - независимость законов природы от состояния
движения, коль скоро оно продолжает оставаться равномерным,-вовсе не
очевидна для неподготовленного ума1). Одним из ее следствий является то
обстоятельство, что законы природы определяют не скорость, а ускорение
тела: скорость различна в координатных системах, движущихся с различными
скоростями, ускорение же одинаково, коль скоро координатные системы
движутся относительно друг друга равномерно и прямолинейно. Поэтому
принцип эквивалентности координатных систем, движущихся относительно друг
друга равномерно и прямолинейно (и их эквивалентность покоящейся
координатной системе), не мог быть установлен до того, как был понят
второй закон Ньютона. После открытия второго закона этот принцип был
сразу же осознан самим Ньютоном. Правда, одно время доверие физиков к
принципу независимости законов природы от состояния равномерного и
прямолинейного движения было подорвано существованием некоторых
электромагнитных явлений, но затем Эйнштейн возродил принцип в несколько
измененной редакции.
¦) Так, физика Аристотеля исходит из постулата о том, что движение
непременно требует постоянного действия обусловливающей его причины.
Следовательно, все тела, если бы они не были подвержены действию причины,
сообщившей им скорость, пришли бы в состояние абсолютного покоя (см.,
например, [13]). Для систем координат, движущихся относительно друг
друга, это утверждение неверно. Системы координат, для которых оно верно,
должны обладать некоторым выделенным состоянием движения.
26
/. Симметрия и другие физические проблемы
Мы уже говорили о том, что законы сохранения энергии, импульса и углового
момента являются прямыми следствиями только что названных симметрий.
Особенно наглядно связь законов сохранения с симметрией проявляется в
квантовой механике, где все эти законы сохранения непосредственно следуют
из кинематики и при их выводе не приходится обращаться к динамическим
законам (например, совершенно не используется уравнение Шредингера). Это
утверждение будет нами вскоре доказано. В классической теории ситуация
намного сложнее. Здесь основой даже простейшего доказательства законов
сохранения служит замечание о том, что классическая теория является
предельным случаем квантовой теории. Отсюда делается вывод, что любое
уравнение, справедливое в квантовой теории при произвольном значении
постоянной Планка h, справедливо и в пределе при h = 0. Следы этого
рассуждения можно обнаружить и в общих соображениях относительно связи
между законами сохранения и пространственно-временной симметрией в
классической теории. Законы сохранения можно вывести также и
элементарными средствами, используя динамическое уравнение, т. е. второй
закон Ньютона, и предположение о том, что силы определяются потенциалом,
зависящим только от расстояний между частицами. Поскольку понятие
потенциала не вполне естественно, такой вывод законов сохранения не
совсем обычен. Мах [14], например, считал, что сила, действующая на любую
частицу, равна сумме сил, каждая из которых обусловлена действием какой-
то другой частицы. Такое утверждение в неявном виде содержится в третьем
законе Ньютона, ибо в противном случае понятие противодействия не имело
бы смысла. Кроме того, Мах считал, что сила зависит только от положений
пар взаимодействующих частиц, но не от их скоростей '). При только что
сделанных предположениях закон сохранения импульса сразу же следует из
третьего закона Ньютона, и, наоборот, третий закон Ньютона выступает в
роли необходимого условия сохранения импульса. Все это отчетливо
представлял еще Ньютон. Значение изотропности пространства для закона
сохранения углового момента, который Эйлер, Бернулли и Дарси открыли
почти 60 лет спустя после выхода ньютоновских "Начал", очевидно. Если бы
направление силы, действующей между парой частиц, не совпадало с прямой,
соединяющей одну частицу с другой, то оно не было бы инвариантным
относительно вращений вокруг этой прямой. Отсюда следует, что при
сделанных допущениях возможны только центральные силы. Поскольку
вращательный момент таких сил, если они равны по величине и
противоположны по направлению, равен
') По этому поводу см. работы [6-8].
2. Симметрия и законы сохранения
27
нулю, мы получаем закон сохранения углового момента. Если бы силы
зависели от положения трех или большего числа частиц, этот закон не имел
бы места.
В квантовой механике, как уже говорилось, законы сохранения следуют из
основных кинематических понятий. Это связано с тем, что в квантовой
