Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
плоскостей числители и знаменатели этих рациональных чисел, как правило,
меньше 6, а нередко и 4. Если бы рациональные числа, о которых говорится
в законе Гаюи, были произвольными, закон рациональных индексов нельзя
было бы проверить экспериментально. Более того, само открытие закона было
бы невозможным, если бы Гаюи не исходил из наглядной картины строения
кристаллов, описанной почти за 300 лет до него епископом Стено1),-
правильного расположения атомов в узлах пространственной решетки. Ныне мы
располагаем доказательствами реальности такой картины. Именно она привела
Гаюи к открытию закона рациональных индексов, который затем был проверен
экспериментально и в свою очередь позволил указать, каким ограничениям
должны удовлетворять повороты для того, чтобы они могли входить в группу
симметрии кристалла (услбвия Гесселя). Когда в самом конце прошлого века
Федоров [14] и Шенфлис [13] исследовали полную симметрию кристаллов,
обнаружилось, что найденные Гесселем группы являются 32 различными
факторгруппами всех возможных пространственных групп по инвариантным
подгруппам, образованным сдвигами. Пространственными группами называются
дискретные подгруппы евклидовой группы, содержащие три некопланарных
сдвига. Всего, как показали Федоров и Шенфлис с помощью теоретико-
групповых методов, уже известных в то время по крайней мере некоторым
кристаллографам, существует 230 пространственных групп. Введенное
Гесселем ограничение (элементы групп симметрии кристаллов могут иметь
лишь порядок 1, 2, 3, 4 и 6) оказалось гораздо менее произвольным, чем
могло показаться на первый взгляд.
Заключительная часть истории роли симметрии в очень старой физике
представляет интерес лишь для физиков. Свойства симметрии кристаллов
определенным образом проявляются в макроскопических свойствах кристаллов,
что позволяет получать ценные сведения об их внутреннем строении.
Информация
') См. работу [12]. В действительности в этой работе содержится лишь
зародыш идеи о кристаллической решетке.
220
Дополнение
такого рода с полным пониманием групповых свойств операций симметрии,
хотя, как правило, и не на языке теории групп, была получена в основном
Гротом [15]1). Нам, физикам старшего поколения, по-прежнему доставляет
удовольствие читать о свойствах кристаллов и узнавать о тех чрезвычайно
редких исключениях, когда симметрия, присущая подавляющему большинству
свойств кристаллов, слегда нарушается. К сожалению, симметрию кристаллов
нельзя сформулировать на языке современной квантовой теории, поскольку
эта симметрия носит лишь приближенный характер (приближенный в том
смысле, что она верна, если движение ядер можно описывать с помощью
классической, т. е. неквантовой, теории). Не меньшее сожаление вызывает и
то обстоятельство, что никому из нас не удалось установить пределы
применимости понятия симметрии кристалла и указать явления, в которых
должен проявляться ее приближенный характер.
Прежде чем переходить к более современным вопросам, и в частности к
квантовой теории, я должен заметить, что интуитивные представления о
симметрии играли важную роль в мышлении великих физиков прошлого, хотя
явное использование симметрии в старой физике ограничивалось в основном
кристаллографией. Например, считалось, что между двумя материальными
точками всегда действует центральная сила, т. е. сила, направленная вдоль
соединяющей их прямой. Лишь такое направление силы совместимо с
инвариантностью относительно вращений. Инвариантность законов физики
относительно сдвигов (как в пространстве, так и во времени) была
гипотезой, захватившей умы естествоиспытателей задолго до того, как был
найден изощренный способ ее формулировки. В некоторых работах Ньютона
ясно ощущается, что их автор был знаком с принципом, который мы теперь
называем принципом инвариантности Галилея.
В конце рассматриваемого нами периода истории физики Гамель, Клейн и
Нетер ^предложили для законов сохранения, встречающихся в физике, весьма
изящный и тонкий вывод на основе теоретико-групповых соображений. К тому
времени законы сохранения уже были, разумеется, хорошо известны, и физики
умели выводить их более элементарными способами. Поскольку использование
принципа симметрии при выводе законов сохранения носит косвенный
характер, а весь круг возникающих при этом проблем неоднократно
обсуждался и математиками и физиками, мы не будем останавливаться на нем
более подробно.
*) В более явном виде теоретико-групповой подход использовал в своем
учебнике Фойгт [16].
18. Принципы симметрии в старой и новой физике
221
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
Нельзя не удивляться тому, что йринципы симметрии играли явную и
непосредственную роль лишь в весьма узкой области старой физики -
кристаллографии. Действительно, инвариантность уравнений движения
относительно групп Галилея или Пуанкаре1), включающих в себя всю
евклидову группу, должна приводить к прямым следствиям для явлений,
лежащих вне кристаллографии. Выясним, в чем состоят эти следствия.
