Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
законы на языке математики". Идеи симметрии и инвариантности неизменно
(по крайней мере, если иметь в виду последние 150 лет) играют важную роль
в физике, и значение их, по-видимому, все возрастает.
С другой стороны, существенно изменились представления о том, какие
разделы математики особенно полезны физикам. Даже 50 лет назад
математический аппарат физика ограничивался теорией обыкновенных
дифференциальных уравнений с небольшой "примесью" уравнений с частными
производными. Лет 35 назад уравнения с частными производными и теория
гильбертова пространства уже занимали в математическом образовании физика
доминирующее место. Сегодня нам чаще приходится слышать о теории
аналитических функций одной или нескольких переменных, о теории
обобщенных функций и, наконец, о теории групп и их представлений, чем о
теории гильбертова пространства и преобразованиях к главным осям, хотя
последние и по сей день, по-видимому, могут служить языком для
формулировки законов природы.
СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ
Вернемся к первой теме моей лекции и рассмотрим роль симметрии в старой
(в действительности очень старой) физике. В те давние времена симметрия
использовалась по существу лишь в кристаллографии. Я упоминаю об этом
здесь не потому, что мне удалось получить какие-то новые математические
результаты, представляющие интерес для кристаллографов, а совсем по иной
причине. История кристаллографии служит примером того, как Однй И те же
идеи возникают и развиваются параллельно у математиков и у
естествоиспытателей и как обе
l) "Egei е scritto in lingua matematica,.,". См. работу [6].
218
Дополнение
категории исследователей, имеющих вначале весьма отдаленное представление
друг о друге, на более поздней стадии развития теории объединяют свои
усилия. Роль естествоиспытателя сводится в основном к постановке новых
проблем и нахождению некоторых их решений. Математик не только
способствует более глубокому пониманию решения, найденного
естествоиспытателем, но и существенно обобщает первоначальную постановку
проблемы. На ранних стадиях своего развития каждое из этих направлений
ничего не знает о результатах и методах своего соседа, но впоследствии
между ними устанавливается тесное сотрудничество.
То, о чем я намереваюсь рассказать в своем докладе, относится в основном
к естествоиспытателям, но я надеюсь, что и математики смогут почерпнуть
из доклада кое-что новое для себя.
История применения идей симметрии в физике начинается с 1830 г., когда
Гессель вывел 32 кристаллографических класса1). Так принято называть
конечные группы собственных и несобственных поворотов в трехмерном
пространстве, содержащие лишь элементы порядка 1, 2, 3, 4 и 6. Статья
Гесселя появилась за два года до знаменитой дуэли2), происшедшей в
Париже. В том же 1830 г. впервые прозвучал термин "группа", и само
понятие было четко сформулировано.
Может возникнуть вопрос, почему Гессель ограничился рассмотрением групп,
содержащих лишь элементы порядка 1, 2, 3, 4 и 6. Причина заключалась в
том, что Гесселю было известно свойство кристаллов, открытое за 50 лет до
того одним из основателей кристаллографии аббатом Гаюи3). Гаюи обнаружил
удивительную особенность расположения кристаллографических плоскостей.
Заключается она в следующем. Выберем за направления осей координат линии
пересечения любых трех кристаллографических плоскостей. Тогда отношения
длин отрезков, отсекаемых на этих осях любой другой кристаллографической
плоскостью, будут выражаться рациональными числами. Это свойство
кристаллов получило название закона рациональных индексов. Группа
симметрии кристалла, содержа-
*) Статья Гесселя была первоначально опубликована в справочнике [7], а
позднее напечатана в одной из книг серии "Освальдовские классики точного
естествознания" (см. [8], стр. 91 и далее). Интересующихся историей
кристаллографии мы отсылаем к книге [9]. Современный обзор истории
кристаллографии, отличающийся необычайной широтой охвата материала, см. в
книге [10].
2) Имеется в виду дуэль, на которой погиб основоположник теории групп
Эварист Галуа. - Прим. перев.
3) Речь идет о статье Гаюи [11]. Подробная библиография приведена в книге
Берка [10] (стр. 190). Берк выражает сомнение (см. стр. 83, 84 его.
книги) в том, что Гаюи ничего не знал о работах своих предшественников, и
в частности о работах Бергмана.
18. Принципы симметрии в старой и новой физике
219
щая повороты на любые углы, кроме 60, 90° и кратных им, противоречила бы
закону рациональных индексов. С этим обстоятельством и связано условие
Гесселя: все повороты, входящие в группу симметрии кристалла, должны быть
элементами порядка 1, 2, 3, 4 и 6.
Закон рациональных индексов Гаюи был эмпирическим законом, и его вряд ли
удалось бы открыть, если бы рациональные числа, которыми выражаются
отношения длин отрезков, отсекаемых кристаллографическими плоскостями на
координатных осях, не были очень простыми. При надлежащем выборе основных
