Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
заменить гомоморфизм изоморфизмом. Такая расширенная группа носит
название квантовомеханической группы симметрии. Операции
квантовомеханической группы симметрии разбивают гильбертово пространство
состояний на подпространства, каждое из которых инвариантно относительно
преобразований группы. Следовательно, в каждом инвариантном
подпространстве эти операции индуцируют представление
квантовомеханической группы симметрии унитарными преобразованиями.
Физики предприняли намного более подробное изучение представлений групп
симметрии, чем это было сделано до них математиками. В тех случаях, когда
представления уже были в принципе известны, физики нашли канонические
формы неприводимых представлений и инвариантные подпространства прямых
(или тензорных) произведений инвариантных подпространств. Это позволило
им построить теорию различных коэффициентов связи (3/-, б/- и других /-
символов более высокого порядка), представляющих интерес и с точки зрения
чистой математики. Для некоторых некомпактных групп Ли физики нашли ранее
неизвестные унитарные представления. Во многих случаях все нетривиальные
представления оказались бесконечномерными. Отыскание бесконечномерных
представлений всех локально компактных групп превратилось в быстро
развивающуюся область математики.
Вплоть до недавнего времени в центре внимания физика, занимающегося
изучением следствий тех или иных принципов инвариантности, находилась
теория представлений групп. Труп-
216
Дополнение
пой симметрии в большинстве случаев служила либо квантовомеханическая
группа Пуанкаре, либо какая-то из ее подгрупп. В последние годы интерес
переместился на группы, являющиеся лишь группами приближенной симметрии и
образующие различные расширения группы Пуанкаре. Таким образом, мы
присутствуем при обратном процессе, когда основным объектом изучения
вновь становятся не представления известных групп, а проблемы построения
самих групп, в частности таких, которые содержат в качестве подгруппы
группу Пуанкаре. Относительно таких групп и их представлений получено
много интересных результатов.
ЭВОЛЮЦИЯ ФИЗИКИ
Физика и естествознание за последние 100-150 лет претерпели значительные
изменения. Изменился дух науки, ее предмет, способ действия.
Изменение д,уха науки произошло в направлении все более возрастающей
изощренности. Если лет сто назад законы физики формулировались в терминах
непосредственно наблюдаемых величин, то современная физика использует для
тех же целей сложнейшие математические построения, и это не удивительно,
поскольку проведенный современной физикой анализ понятия "непосредственно
наблюдаемые величины" привел к выводу, что в микроскопической области
такие величины не существуют. Мало кто помнит, что первый крупный шаг на
пути к изощренной в математическом отношении теории - введение фазового
пространства с его чудовищным числом измерений - был сделан Виллардом
Гиббсом1). Следующие два шага на пути к математически изощренной теории
хорошо известны - создание теории относительности и квантовой механики.
По иронии судьбы последние два шага были предприняты именно для того,
чтобы исключить из физической теории непосредственно ненаблюдаемые
величины. Величины, принципиальную ненаблюдае-мость которых создатели
теории относительности и квантовой теории сознавали, действительно
удалось исключить, но их место заняли также непосредственно ненаблюдаемые
величины: вектор состояния и гравитационная метрика - понятия,
отличающиеся от понятий классической физики намного большей
математической и логической изощренностью.
') Работа Гиббса [1], весьма законченная по форме, объемом почти 300
страниц была написана в 1901 г. и опубликована йельским университетом в
1902 г. В 1928 г. вышло ее второе издание. Во втором томе работы [2]
помещены интересные примечания Гааза к работам Гиббса (точнее, два
комментария- короткий и длинный). Работа Гиббса [3], в которой он ввел
понятие, справедливо носящее его имя, - понятие фазового пространства,
имела объем всего лишь 1 страницу. Она была опубликована в 1884 г.
Желающие могут нэйти ее на стр. 16 второго тома "Научных трудов Вилларда
Гиббса" [4].
i8. йринЦиНы симметрии в старой и новой физике
217
Предмет физики, да и других естественных наук также изменился. Это
изменение особенно заметно на примере физики: если в конце прошлого века
физика занималась изучением лишь макроскопических объектов, то теперь мы
считаем работу по макроскопической физике (например, изящную новую теорию
трения Боудена и Табора [5]) экзотической.
Изменился, наконец, и способ действия. Теперь у нас есть Большая Наука (в
смысле Альвина Вейнберга) с ее сотнями ученых, вливающихся каждое утро в
лаборатории, дабы сорвать завесы, за которыми природа пытается скрыть
свои тайны. Это изменение уже неоднократно обсуждалось, и я не хочу
останавливаться на нем сейчас.
И все же кое-что осталось неизменным. Как и во времена Галилея, если
воспользоваться словами самого Галилея *), "природа формулирует свои
