Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Они имели мужество не закрывать глаз на то, что ожидало их сегодня и что
неизбежно ждало их завтра. Они не избегали конфликта, если знали, 'что,
этим не ликвидируют, а лишь отдалят его наступление и что завтра он может
разразиться при более неблагоприятных условиях, чем сегодня.
Другой отличительной чертой тех, кого мы вспоминаем особенно часто, была
их преданность друзьям. Они высоко ценили дружбу, понимая, что можно
выстоять или пасть вместе с друзьями, но нельзя предать друга и союзника,
не изменив самому себе. Со своими друзьями они заключали союзы, в которых
более сильный никогда не говорил слабому: "Я сильнее",-• и в которых
слабый никогда не пытался вымолить у общего врага пощаду, лишив попавшего
в беду друга своей поддержки. Стоя здесь, перед вами, как ваш друг и в то
же время как незнакомый вам человек, я вдвойне сознаю все безумие иного
отношения к друзьям. Будем же верны своим друзьям, как были верны наши
предки.
Будем же сегодня трезво смотреть на то, что ожидает нас завтра. Обычно
люди стараются не думать о смерти. Наша культура совершает грех, пытаясь
закрыть нам глаза на ту непреложную истину, что никто из нас не будет
жить вечно. В результате мы оказываемся неподготовленными к неизбежно
наступающему последнему часу и не сознаем, что то, как мы умрем - борясь
со злом, предав своих друзей или будучи преданными ими, - имеет решающее
значение для дела всей нашей жизни.
Мне выпала сегодня необычная честь, и я не мог бы отблагодарить вас за
нее более искренне, чем рассказав о том, что особенно волнует меня. Будем
же надеяться, что и я и вы сможем жить в соответствии с теми принципами,
которые мы провозглашаем, полные сил и в отсутствие непосредственной
опасности.
ДОПОЛНЕНИЕ ¦)
V. ЕЩЕ О СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
18
ПРИНЦИПЫ СИММЕТРИИ В СТАРОЙ И НОВОЙ ФИЗИКЕ2)
ВВЕДЕНИЕ И КРАТКИЙ ОБЗОР
Соображения симметрии и инвариантности давно уже играют в физике важную
роль. Кристаллографические классы (их 32), т. е. группы вращений в
трехмерном пространстве, все элементы которых имеют порядок 2, 3, 4 или
6, были определены 137 лет назад--в тот самый год, когда родилась теория
групп. Вывод Федоровым и Шенфлисом 230 пространственнык групп3) (так
принято называть дискретные подгруппы евклидовой группы, содержащие три
некопланарных сдвига) по праву считается шедевром анализа. Не меньшее
восхищение вызывает и данная Гротом классификация возможных свойств
кристаллов, обладающих симметрией пространственных групп.
В классической физике первостепенное значение придавалось подгруппам
евклидовой группы, а перечисление таких подгрупп и вывод инвариантных
относительно них свойств считались основной задачей. Гораздо более
экзотическими выглядели с математической точки зрения группы симметрии
релятивистских теорий, однако они не привели физиков ни к сколько-нибудь
значительному вкладу в математическую теорию групп, ни к постановке новых
интересных математических проблем. Когда же соображения симметрии были
применены к другому великому достижению физической теории нашего времени
- к квантовой механике, новые проблемы посыпались, как из рога изобилия,
и было установлено несколько интересных математических теорем. Основная
причина столь резкого различия меж-
') К русскому изданию мы добавили часть V, в которую включили ряд статей
Вигнера, посвященных проблемам симметрии, но не вошедших в американское
издание.
2) Из журнала: Bull. Amer. Math. Soc., 74, № 5, 793 (1968). Лекция
прочитана 23 января 1968 г. в Сан-Франциско на ежегодном съезде
Американского математического общества. Посвящена памяти Джозайи Вилларда
Гиббса.
3) В настоящее время их принято называть "федоровскими" группами.
(Приоритет Е. С. Федорова подчеркнут А. Шенфлисом в его опубликованном
письме знаменитому русскому кристаллографу.) •- Прим. перев.
18. Принципы симметрии в старой и новой физике
215
ду квантовой и классической теориями заключалась в способах описания
состояния. В классической теории состояние характеризуется положением и
скоростью частиц. Задание этих параметров эквивалентно заданию
соответствующих точек в обычном трехмерном пространстве. В квантовой
теории состояние определяется вектором в абстрактном гильбертовом
пространстве. Преобразования симметрии в классической теории были весьма
наглядными преобразованиями трехмерного пространства, в квантовой теории
роль преобразований симметрии стали играть унитарные преобразования
гильбертова пространства. Последние образуют различные подгруппы группы
всех унитарных преобразований, существенно гомоморфные группе симметрии
рассматриваемой задачи - существенно потому, что в квантовой механике
всякое унитарное преобразование эквивалентно любому другому унитарному
преобразованию, отличающемуся от него множителем, равным по модулю 1. В
результате исследований, проведенных главным образом Баргманом [18],
выяснилось, что столь сильную неоднозначность можно ослабить, а в
большинстве случаев после надлежащего расширения унитарной подгруппы даже
