Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
#а0 = у?4?а|М4 + #а<>,
#а4=-^%>.44 + Г"4' (5.171)
#44 = 4 ё^ёсф, 44 + ^ 44>
где F содержит величины (5.169).
Мы непосредственно видим, что уравнения поля
#у = 0 (5.172)
не определяют все вторые производные (5.170) однозначным образом, так как
четыре из них (gi4i 44) в уравнения (5.171) вообще не входят. Итак,
разрывы вторых производных могут иметь место на любой гиперповерхности.
Нужно, однако, помнить о понятии существенный, содержащемся в определении
ударных волн. Можно, не выходя за рамки класса допустимых координат,
устранить некоторые разрывы вторых производных. При этом лучше всего
пользоваться гауссовыми координатами хх (вообще говоря, косоугольными!,
такими, чтобы, как и раньше, 2 задавалась уравнением х* = 0; в этом
случае, как и в (1.212), мы имеем
8а 4.4 е0' ^44 = e=±L (5.173)
Тогда gi4(44= 0, и из десяти вторых производных (5.170) необходимо рас-
§ 7. Характеристики и ударные волны
197
смотреть лишь шесть (gap, 44)- В этом случае ясно, что, коль скоро
условие
^ = 0 (5.174)
не выполняется, уравнения поля (5.172) определяют эти шесть производных
однозначным образом, тогда как в случае, когда (5.174) имеет место, это
утверждение не верно. Следовательно, (5.174) представляет собой
уравнение, определяющее гравитационные ударные волны. Но (5.174)
совпадает с уравнением (5.163), откуда мы заключаем, что гравитационные
ударные волны представляют собой изотропные поверхности, определяемые
уравнениями (5.166) (Леви-Чивита (6401, Пастори (874]. Финци [337],
Лишнеровиц [671], стр. 33). Выражаясь обычным языком, можно говорить, что
"гравитационные ударные волны распространяются со скоростью света", и мы
можем представлять себе бихарактеристики (изотропные геодезические) как
"гравитационные лучи". Разумеется, такого рода утверждения следует
принимать cum grano salis1). Однако представляется весьма правдоподобным,
что, если бы мы когда-нибудь серьезно попытались представить себе
квантованный элемент гравитации (гравитон), аналогично тому, как мы
представляем себе квантованный элемент света (фотон), было бы естественно
приписать гравитонам в качестве их мировых линий именно изотропные
геодезические.
*) Cum grano salis (лат.) "с крупинкой соли", с умом. - Прим. ред
Глава VI
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
§ 1. Понятие об интегральных законах сохранения
Рассмотрим замкнутую систему в ньютоновской механике. Под замкнутой
системой мы понимаем систему, которая не испытывает действия каких-либо
внешних сил. Тогда, если q - плотность, а иа - скорость, мы имеем закон
сохранения импульса в виде
где const означает "не зависит от времени". Кроме того, имеется закон
сохранения энергии, простой по виду в случае консервативной системы, но
выходящий за рамки механики в собственном смысле этого слова, когда имеет
место превращение механической энергии в тепло.
При попытке построить релятивистские аналоги интегральных законов
сохранения ньютоновской механики первая и наиболее очевидная трудность, с
которой мы сталкиваемся, состоит в том, что не существует единственного
инвариантного способа разбиения пространства - времени на оо1
пространственноподобных частей. Рекомендуется сразу принять более широкую
точку зрения, лучше отвечающую смыслу теории относительности, и
рассматривать интегральный закон сохранения как утверждение о равенстве
нулю интеграла, взятого по замкнутому трехмерному подпространству в
пространстве - времени. Сформулируем это утверждение точнее. Пусть V3 -
замкнутое трехмерное подпространство (фиг. 60), ограничивающее
четырехмерную область V4. Пусть, далее, N1 - единичная внешняя нормаль к
Vs. Тогда, если существует векторное поле Fit такое, что
для каждого замкнутого Vs, то мы будем называть соотношение (6.3)
интегральным законом сохранения2).
*) Автор вместо терминов "импульс" и "момент импульса" пользуется
терминами) "линейный момент" ("linear momentum") и "угловой момент"
("angular momentum" соответственно. - Прим. ред.
а) Символы d3v и dtv означают инвариантные элементы 3-объема и 4-объема,
а подынтегральные выражения, встречающиеся в § 1-4, инвариантны
относительно преобразования координат в области интегрирования. В § 5-7
подынтегральные выражения уже ие будут инвариантами.
(6.1)
и закон сохранения момента импульсах) в виде
^ е (*аЫр - *е"а) d3V = const,
(6.2)
(6.3)
§ 1. Понятие об интегральных законах сохранения
199
Значение термина сохранение станет ясным, если разбить замкнутое V3 на
две открытые области (Vs = V's + IQ, причем обе области перекрываются на
одном и том же замкнутом V2 (фиг. 61). Если мы по-прежнему будем
обозначать через N1 внешнюю нормаль к VQ но изменим значение N1 на V's,
так чтобы эта нормаль стала внутренней, то (6.3) можно записать следующим
образом:
^ е (N) FtNl d3v=\e (N) d3v. (6.4)
Vs vj
Любой из этих интегралов может быть назван потоком. Тот факт, что поток
для V'совпадает с потоком для VQ правильно отражается словом сохранение.
