Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Общая теория относительности " -> 94

Общая теория относительности - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Общая теория относительности — М.: ИЛ, 1963. — 432 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 88 89 90 91 92 93 < 94 > 95 96 97 98 99 100 .. 211 >> Следующая

фактически повторили уже сказанное в гл. I, § 7.
Резюмируем наши рассуждения следующим образом: характеристические кривые
есть кривые, связанные с дифференциальным уравнением первого порядка в
частных производных, все решения которого определяются как только эти
кривые найдены. Рассмотрим теперь иное применение слова характеристика и
постараемся заранее устранить возможность путаницы, заменив его словом
ударная волна. Иногда приходится рассматривать величины, которые, будучи
сами непрерывны, имеют разрывные производные. Так, например, в
ньютоновской теории гравитации потенциал и его первые производные на
поверхности материальной сферы непрерывны, но имеют место разрывы вторых
производных (внутри сферы справедливо уравнение Пуассона, вне сферы -
уравнение Лапласа). Аналогичным образом, в пространстве - времени могут
встретиться непрерывные величины, производные которых терпят разрыв на
трехмерной сфере 2. Следуя гидродинамической терминологии, будем
говорить, что 2 представляет собой
§ 7. Характеристики и ударные волны
195
ударную волну. В математике этому понятию эквивалентен термин
характеристика. Однако мы его употреблять не будем.
Мы будем рассматривать ударные волны в пространстве - времени в связи с
обсуждением дифференциальных уравнений второго порядка в частных
производных для скалярной функции, а также с обсуждением уравнений поля в
вакууме. Электромагнитные ударные волны будут исследованы в гл. X, § 2.
Можно отметить, что применяемый ниже метод анализа представляет собой
современный эквивалент приемов, использовавшихся ранее в оптике
(например, переход от "физической" оптики к "геометрической" посредством
рассмотрения периодических волн высокой частоты).
Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка в частных
производных
F = 0, (5.158)
где F - инвариант, зависящий от скаляра S и его частных производных Sti,
S^j. Ударная волна 2 есть трехмерная гиперповерхность, на
которой
S и Sti непрерывны, но их вторые производные Siiy претерпевают
какие-то
разрывы. Приступая к исследованию ударных волн, возьмем другие координаты
х{, такие, что 2 в них задается уравнением х4 = 0. Тогда на 2 непрерывны
следующие величины:
В, S.a, 4* <S,aP> <S>a4. (5.159)
Таким образом, разрыв может претерпевать только вторая производная S,44.
Будем теперь рассматривать уравнение (5.158) как алгебраическое уравнение
относительно SAi. Если оно допускает единственное решение, то Si44 на 2
непрерывна. Таким образом, ударной волне можно дать негативное
определение: 2 является ударной волной, если уравнение F = О не
определяет однозначным образом значение производной Si44.
Рассмотрим в качестве примера обобщенное волновое уравнение в заданном
пространстве - времени:
g'S|iy = 0. (5.160)
Поскольку нас сейчас интересуют только вторые производные, то все
рассуждения в равной мере применимы и к уравнениям более
общего вида
?Ящ + В = 0, (5.161)
где В содержит S и S 4. Однако для простоты будем иметь
в виду уравне-
ние (5.160). Для системы координат х1, в которых гиперповерхность 2
определяется уравнением х* = 0, уравнение (5.160) принимает вид
44+...= 0 (5.162)
где черточками помечены члены, содержащие величины (5.159). Условие для
ударной волны, очевидно, будет иметь вид
g" = 0, _ (5.163)
так как если бы это не имело места, то S>44 определялось бы с помощью
только (5.162). Перейдем теперь снова к координатам общего вида хг,
полагая
? = П*). (5.164)
так что 2 определяется уравнением f(x) = 0. Тогда
ё" = ёЧл!,и (5.165)
и, следовательно, мы убеждаемся, что ударные волны для волнового
уравнения (5.160), или в более общем случае, для (5.161) представляют
собой
13*
196
Г л. V. Некоторые свойства полей Эйнштейна
трехмерные гиперповерхности f(x) = const, где f удовлетворяет уравнению
= 0. (5.166)
т. е. изотропные поверхности, причем связанные с ними характеристические
кривые представляют собой изотропные геодезические. Поскольку (выражаясь
математическим языком) изотропные поверхности сами есть
характеристические поверхности волнового уравнения, то обычно говорят,
что бихарактеристики волнового уравнения являются изотропными
геодезическими.
Рассмотрим теперь гравитационные ударные волны, связанные с уравнениями
поля в вакууме
Gy = 0, (5.167)
и эквивалентные уравнениям
Ru = 0. (5.168)
Под ударной волной мы понимаем трехмерную гиперповерхность 2, на которой
непрерывны (как этого и требуют условия для допустимых
координат), но имеют существенные разрывы некоторых из своих вторых
производныхgiU ftm;слово существенный здесь означает,что такие разрывы
нельзя устранить с помощью перехода к другим допустимым координатам.
Подойдем к вопросу о гравитационных ударных волнах с той же точки зрения,
что и ранее, т. е. выбирая координаты хх, в которых уравнение для 2 имеет
вид х4 = 0. Тогда величины
?ц> Si], k' Sij, 4a (5.169)
непрерывны, и разрывы могут обнаружиться только у величин
*".**• (5-170)
С помощью (1.86) и (1.104) находим
Предыдущая << 1 .. 88 89 90 91 92 93 < 94 > 95 96 97 98 99 100 .. 211 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed