Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
таким путем вселенные окажутся совершенно нереальными. Реалист стал бы
исходить из ньютоновской картины солнечной системы (если именно она его
интересует) и подобрал бы разумные исходные значения Va, 6 и Р- Вычислив
J) Если понимать под этим мифическим персонажем синоним полного произвола
в выборе начальных данных. - Прим. ред.
§ 7. Характеристики и ударные волны
193
с их помощью и g"p по формулам (5.142) и (5.145)- (5.148), он, пользуясь
методом итераций, изложенным в гл. IV, § 6, подставил бы эти значе-нияфар
и ?ар,атакже исходное значение р в уравнения (5.141) и получил бы точное
решение относительно Va и р. Поскольку р - величина "регулируемая", ее
всегда можно обратить в нуль вне Солнца и планет, и данные Коши перестают
иметь реальный смысл лишь при рассмотрении плотности вне Солнца и планет
- эта плотность может оказаться отрицательной. Грубые количественные
вычисления показывают, что эта искусственная плотность принимает свое
наибольшее абсолютное значение вблизи Солнца, где она равна
приблизительно 1СГ14 сек~г или 10-7 г/см*.
Для какой области изменения координаты х* разложения в ряды
(5.149) можно считать справедливыми? Мы используем обычные нормальные
гауссовы координаты, построенные посредством проведения геодезических,
нормальных к гиперповерхности х* = 0. Эти координаты теряют смысл, и
разложения (5.149) становятся неправомерными, как только две соседние
геодезические пересекаются. Вопрос о пересечении можно рассматривать с
помощью геодезического отклонения, но быстрее оценка получается, если,
используя ньютоновские воззрения, рассматривать геодезические как
траектории частиц, покоившихся до момента времени х4=0,а затем начавших
свободно падать в среде, не оказывающей сопротивления их движению. В
случае сферы, материя внутри которой однородно распределена с плотностью
q, частица, начинающая двигаться из состояния покоя в любой точке, падает
к центру за время
(5.,50)
Если плотность в центре Солнца принять равной 100 г/см1 (а это наверняка
наибольшая плотность в солнечной системе) и подставить это значение в
формулу (5.150), то мы получим грубую верхнюю оценку для пределов
изменения*4, при которых справедливы разложения (5.149) в применении к
солнечной системе. Интервал изменения оказывается равным примерно 300
сек. Прежде чем истечет этот промежуток времени, необходимо выбрать новое
трехмерное пространство в качестве базиса для построения новых гауссовых
координат.
§ 7" Характеристики и ударные волны
Слово характеристика в математике настолько перегружено различными
значениями, что это часто приводит к путанице даже в той области, с
которой мы имеем здесь дело (например, такой же термин употребляется при
рассмотрении дифференциальных уравнений в частных производных в
пространстве - времени).
Обратимся прежде всего к вопросу о характеристических кривых. Рассмотрим
дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных
F(x,y) = 0, (5.151}
которому удовлетворяет функция S (*). Здесь у означает частные
производные
Pi - S, i. (5.152)
Характеристические кривые уравнения (5.151) представляют собой кривые,
удовлетворяющие дифференциальным уравнениям
dx1 dF dyi dF
194
Гл. V. Некоторые свойства полей Эйнштейна
Ценность этих уравнений заключается в том, что все решения
дифференциальных уравнений в частных производных (5.151) можно получить с
помощью решения системы обычных дифференциальных уравнений. Делается это
следующим образом. Будем искать решение S уравнения (5.151) такое, что на
некотором трехмерном подпространстве 2 (фиг. 59) S = 0. Выберем в каждой
точке 2 величины J{ такие, чтобы уравнение (5.151) было удовлетворено, и
проведем конгруэнцию характеристических кривых, исходящих
из 2; при этом yi рассматривается как набор четырех величин,
безотносительно к (5.152). Выбрав произвольную точку Р (х), проведем
через нее характеристическую кривую, принадлежащую данной конгруэнции.
Пусть она пересекает 2 в точке Р'. Уравнение
р
s(x)= ^ yidxi, (5.154)
р'
где интеграл берется вдоль характеристической кривой, определяет S(x) как
функцию точки. Легко убедиться, что S(x) удовлетворяет уравнению (5.151)
и условию S = 0 на 2. Доказательство уже было дано в гл. I, § 7, и
повторять его здесь нет надобности. Так же, как и в гл. I, § 7, можно
взять на 2 более общие условия, задавая для S вместо нулевых произвольные
значения.
В конкретном случае, если дифференциальное уравнение в частных
производных имеет вид
Фиг. 59. Характеристические кривые.
F (х, у) = ~2 gliyiPj = 0,
то уравнения для характеристических кривых записываются как
dx' i( dyi _ 1 ryjh.
du
= gl'yj,
du
2 ё\{У)Уь'
откуда получаем
6 dxl
= 0,
dxl dx> 1 du du
- 0.
(5.155)
(5.156)
(5.157)
6и du
Это - уравнение изотропной геодезической, а (5.155) - уравнение
изотропной поверхности (см. гл. I, § 7). Таким образом,
характеристические кривые, связанные с изотропными поверхностями,
представляют собой изотропные геодезические. Устанавливая этот факт, мы
