Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
гравитационного поля Эйнштейна физически приемлемые выводы. Эти уравнения
весьма сложны с математической точки зрения, и следующее, что мы
предпримем - это дадим их общий обзор, не вдаваясь пока в рассмотрение
связанных с ними технических трудностей. Вспомним [(4.111) - (4.113)],
что уравнения поля имеют вид
Gij= - хТц, и = 8л (4.138)
и в случае пустого пространства сводятся просто к
Gij = 0, или, что то же, Rij = 0. (4.139)
Отношение к этим уравнениям может быть трех сортов: реалистическое,
агонистическое и творческое. Человек реалистического характера стремится
связать эти уравнения поля с уже известными ему обширными сведениями о
физическом мире. Агонист1) берется за решение сложных математических
проблем, к которым приводят уравнения гравитационного поля. Человек
с творческой жилкой находит удовольствие в построении миров,
фантастических, либо схожих с реальным, удовлетворяющих уравнениям поля.
В действительности эти три склонности сливаются в общем стремлении к
пониманию мира, но наша классификация все же полезна.
Наш реалист знает, что солнечная система состоит из гигантского жидкого
тела (Солнца) и множества плачет (твердых, жидких и смешанных),
обращающихся вокруг него; у этих планет есть спутники, и все тела
вращаются. Если не считать весьма малых объектов, межпланетное
пространство не содержит вещества, а излучение, присутствие которого
возможно, динами-Ф и г. 54. Задача двух чески не очень существенно.
Поэтому во внут-тел. ренних областях Солнца и планет следует поль-
зоваться уравнениями (4.138), а в пространстве между ними-уравнениями
(4.139), применяя условия соединения (см. гл. I, §9) на поверхности
Солнца и планет. Однако реалист может для простоты обратиться к
рассмотрению вселенной, содержащей лишь два тела. В пространстве- времени
эти тела изображаются в виде двух временноподобных мировых трубок (фиг.
54). Внутри трубок действуют уравнения (4.138), а снаружи-(4.139). Но что
представляет собой, однако, тензор Ttj внутри трубок? Для большей ясности
напомним уже сказанное в отношении тензора энергии. Мы рчитаем, что он
имеет четыре собственных значения 0 и четыре соответствующих им
собственных вектора X1, удовлетворяющих условиям
TifV = 0V (4.140)
*) В смысле греческого] aycovicJTii^ - участник игр, оспаривающий призы.
§ 6. Обсуждение уравнений поля и координатных условий
163
Временноподобный единичный вектор мы обозначим через V1, а
соответствующее ему собственное значение-через - рх, так что
Т^=-^. (4.141)
Обозначая остальные собственные значения через 0(а), а соответствую-
щие им единичные пространственноподобные собственные векторы через Х(а),
можно придать тензору T{j вид [ср. (4.78)]
T^pViVj-Sv, (4.142)'
где тензор натяжений Si}- равен
з
Sij- 0(<х)Х(а) ik(a) }, (4.143)
а=1
причем он удовлетворяет равенствам
Si}V]' = 0. (4.144)
Безусловно, мы ожидаем, что плотность р положительна. В отношении же
натяжений менее очевидно, что следует считать предпочтительным выбором -
давление или растяжение. Однако в рамках астрономических масштабов нельзя
ожидать существования тел, подвергающихся растяжению, ибо оно распылило
бы их. Тогда -0(ct) представляют собой три основные компоненты натяжения;
их желательно считать отрицательными. Таким образом, можно говорить, что
по физическим йричинам мы выбираем следующие знаки собственных значений
7)-:
Собственные значения Т^:(+ + Н--------)• (4.145)
Заметим, что ввиду знака "минус" в уравнениях (4.138) отсюда следует*)
Собственные значения Gi3-:(- - ------)-). (4.146)
Тогда уравнения гравитационного поля внутри мировых трубок принимают вид
0"= + (4.147)
а если тело представляет собой идеальную жидкость, их можно записать как
Gij =-*(р + р) - Kpgij. (4.148)
При этом
У4У*=-1. (4.149)
Если Еектор пг есть единичная нормаль к трехмерной поверхности,
окружающей мировую трубку, условие содинения имеет вид
Тип* = 0 (4.150)
и означает, что пг представляет собой собственный Еектор
с нулевым
собственным значением. Поэтому одна из основных компонент натяжения
*) Так как знак "минус" содержится одновременно и в уравнениях (4.138) и
в матрице rpi:) = diag (1, 1, 1, -1), то в определении знаков легко
ошибиться. Но, поскольку положительный знак плотности pi физически очень
важен, мы заметим, что при обычном использовании координат, когда
параметрические линии ха простран-ственкоподобны, а линия х4
временноподобна, для значения плотности pi > 0 необходимо, чтобы
G44<0, G\ > 0, Т44>0, Г)<0. (4.146а)
Эти знаки легко проверить с помощью соотношений (4.147) и (4.138).
164
Гл. IV. Материальные среды
оказывается равной нулю и ей соответствует главное направление п%. Но
вектор V1 должен быть перпендикулярен к этому направлению, и мы получаем
в качестве условий соединения
VV"* = 0, Sijti^O. (4.151)
В случае идеальной жидкости эти условия приводятся к виду
Ууг1 = 0, р = 0. (4.152)
Оставим пока нашего реалиста. Агонист начнет с простейшего подсчета числа
