Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
систематическое изучение вопроса, связанного с такой интерпретацией, было
бы слишком
') Определенный парой неортогональных пространственноподобных направлений
двумерный элемент может пересекать изотропный конус. В этом случае нельзя
установить временноподобное направление, ортогональное к обоим упомянутым
выше.
106 Гл. Ill. Хронометрия в римановом пространстве - времени
громоздким. Представляется более целесообразным пойти дальше, не
останавливаясь на этом вопросе, указав, однако, следующие математические
факты, касающиеся скалярных произведений.
1. Если U1 и V1- два единичных вектора, каждый из которых временноподобен
и направлен в будущее, то
1. (3.21)
2. Если V1-фиксированный временноподобный вектор, a U1-
пространственноподобный единичный вектор произвольного направления, то U
у1 может принимать все возможные вещественные значения.
3. Если V1-временноподобный вектор, a N1-изотропный вектор, причем оба
они направлены в будущее, то
N-y1 < 0. (3.22)
В § 3 мы встретились с понятием 4-импульса р1 материальной частицы и
фотона. Мы могли бы назвать первые три компоненты р1 3-импульсом, а
четвертую компоненту р4- энергией. Однако более правильно сохранить эти
важные физические названия для инвариантов, поскольку значения компонент
вектора, разумеется, зависят от выбора координатной системы. Поэтому мы
отложим определение 3-импульса до следующего параграфа, а здесь определим
лишь энергию относительно наблюдателя, имеющего i-скорость V1 с помощью
формулы
E=-PiV\ (3.23)
Это определение применимо, естественно, лишь в том случае, если
траектории наблюдателя и материальной частицы (или фотона) имеют общую
точку, причем Е вычисляется именно в этой точке. Знак в формуле (3.23)
выбран так, чтобы [см. (3.21) и (3.22)] величина Е была положительной,
когда и V1 и р1 направлены в будущее. Это - нормальное положение вещей;
однако в случае р1 могли возникнуть колебания, так как в современной
физике существуют некоторые указания на то, что р1 может быть направлен в
прошедшее. Это означало бы, что энергия отрицательна.
§ 5. Жесткость в смысле Борна и системы отнесения
Рассмотрим оо1 временноподобных кривых, вообще говоря, не геодезических.
Они образуют двумерное пространство W2, в котором можно провести
ортогональные траектории заданной системы кривых, так что получится сетка
(фиг. 35). Параметризуем W3 таким образом, чтобы его уравнение имело
вид xl = х'(и, v), где v = const на каждой из
временноподобных
кривых, а и = const на каждой из ортогональных
траекторий. Как и в
(1.125), полагаем
= и1, ~ = V\ * (3.24)
OU0V 4 '
и для вектора отклонения, проведенного из точки на временноподобной
кривой (и) к временноподобной кривой (и + би), имеем формулу, совпадающую
с (1.127):
rf = Vlbv. (3.25)
Вследствие ортогональности имеем по построению
иу1 = 0, (3.26)
т. е. вектор т]1 ортогонален U1 всюду на
§ 5. Жесткость в смысле Борна и системы отнесения
107
Абсолютная величина вектора отклонения г), вообще говоря, меняется по
мере перемещения вдоль одной из этих вреченноподобных кривых. Следуя
определению, сформулированному в специальной теории относительности
БТэрном, мы будем говорить, что две соседние временноподобные кривые
жестко связаны, если при перемещении вдоль этих кривых т) = const.
Поскольку, как это было показано в предыдущем параграфе, вектор т) имеет
хронометрическую меру, жесткость можно проверить на опыте, посылая qjo-
тоны 01 одной временноподобной кривой к другой и улавлиь. я рассеянные
(или отраженные) фотоны. Критерий жесткости состоит в том, что время,
прошедшее с момента излучения до момента приема (время путешествия),
должно быть постоянным. Этот опыт проил-
люстрирован на фиг. 36, где времена путешествия представляют собой
хронометрические меры А1В1, А2В2... и т. д. В этих рассуждениях нет
ничего особенно ново-* го, ибо такая проверка жесткости с помощью
измерения времени путешествия на самом деле ничем не отличается от
измерения длин с помощью интерферометра - прибора, служащего, по
существу, средством сравнения времен путешествия.
Хотя применительно к одномерному телу (стержню) критерий Борна для
жесткости не содержит трудностей, с возрастанием числа измерений
эти трудности возрастают, и следует особо подчеркнуть, что в
трехмерном
случае понятие жесткости из ньютоновской физики в теорию относительности
те переходит". Следовало бы относиться сообенно скептически ко всем
релятивистским рассуждениям, в которых используется или предполагается
концепция жесткости, словно смысл этого слова ясен и очевиден. В связи с
этим необходимо проверить и переопределить понятие системы (отнесения) (в
ньютоновской физике твердого тела).
Трудности, возникающие при определении жесткости в теории
относительности, связаны с неинтегрируемостью1) и их можно устранять,
работая в бесконечно малой области. Начнем с рассмотрения
временноподобной кривой С0 (фиг. 37), которую будем считать заданной; она
могла бы быть мировой линией наблюдателя, находящегося на Земле (или его
