Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
приемник фиксированы относительно поверхности Земли, и при других их
взаимных положениях. Пришло время для развития теории такого рода
смещений, чтобы выяснить, что в действительности дают эти измерения.
Математически рассматривать "непрерывное" проще, чем "дискретное", и мы
откажемся здесь от метода предыдущих параграфов в пользу другого, который
позволяет рассматривать мировые линии источника и приемника в заданном
пространстве - времени как две мировые линии из конгруэнции, определяемой
векторами 4-скорости V1 (х) (V4Vl = -1). Пути излучения принимаются за
изотропные геодезические.
9 Общий обзор дал Марджерисон [697].
§ 9. Спектральное смещение в среде
345
На фиг. 102 изображены две мировые линии: С (приемник) и С' (источник), и
изотропная геодезическая Р'Р, идущая от источника к приемнику. Тогда О
есть основание (пространственноподобной) геодезической Р'О, проведенной
ортогонально к С. В силу (7.230) спектральное смещение (красное смещение
считается положительным) равно
v_^ = a,y"+g,V'
V' QjrV1 ' V 1
где fii- частные производные мировой функции Й(Р, Р') по Р, Р' и У1У4' -
4-скорость в этих событиях. Запишем, что OP = s, ОР'=т и обозначим через
[Р, р1' единичные касательные векторы к ОР' в точках О иР'. Задача
определяется геометрией пространства - времени, конгруэнцией У1(х),
единичным вектором р1 и скаляром т.
Решать задачу будем, разлагая величины по степеням т.
Заметим, что расположение, изображенное на фиг. 102, было уже приведено
на фиг. 42 и при необходимых изменениях в обозначениях из формулы (3.66)
следует
Фиг. 102. Спектральное смещение в среде.
S = T - Tx2\ipvi + 03,
(11.186)
где D = 6/6s, а значение рjDV1 вычисляется в точке О.
Величины Qi< У1'и 04У1 являются двухточечными инвариантами, определенными
для каждой пары точек Р и Р'. Если рассматривать независимое движение
РиР' и вдоль С и ОР', то эти двухточечные инварианты будут функциями s й
т, и мы сможем разложить их в степенные ряды. Затем мы подставим вместо s
его выражение (11.186). Запишем D = 6/6s, как мы это делали уже в
(11.186), (D = d/ds, если этот символ применен к инвариантам) и Г= д/дх.
Тогда
Q.V1 = [Й*У4] + s [D (QtV*)I + т [Т ( 04У*)1 +
+ 1 {s2[D2 (QtV*)] + 2st [DT (П4У4)] + т2 [T2 (Й*У4)]} +
+ -J- {s3 [D3 (ЦУ4)] + 3s2t [D2T (ЦУ4)] +
+ 3st2] DT2 (Й*У4)] + t3 [T3 (QiE4)]} + 04, (11.187)
где [ ] означает в каждом случае предел совпадения в точке О. Пользуясь
(2.69) для вычисления этих пределов, получаем
[ЦП = о,
[D (Й4У4)] = [Й"У*У' + ЦРУ'] = - 1,
[Г(О1Г)] = [О"'УУ'] = 0,
[D2 (ЦУ4)] -,[^iiikViViVh + ZQ^DV1 + ЦТРУ4] = 0,
[DT (ЦУ4)] = [Оц".У{УV' + ОуЛТУУ'] = - р4РУ4,
[Р2(Й4У4)1 = [Дц^УУ'Р*'] = 0, (11.188)
[D3 (ЦУ4)] = [3QijDViDVj + 3QijViD2Vi + Й4,-/)2У*Уу] = -DVJW',
[D2T (Й4У4)] = [QЦ./)*У V'] = -р47)2У4,
346
Гл. XI. Геометрическая оптика
[.DT2 (QtV*)] = [QijVmyiVVh>m'] = т К,
[713(QiVi)] = 0.
Здесь
K=-RijkmVyVhiLm (11.189)
- риманова кривизна пространства - времени для двумерного элемента,
образуемого в О векторами V' и Все величины в правых частях соотношений
(11.188) вычислены в точке О. Тогда из (11.187) имеем
QtV4 = - s - stujDV4 -1 {sPDVpV1 + ЗуЧц^У* - 2Ksx2}. (11.190)
При изменении i на ?' формула (11.187) дает степенной ряд Qi.V^'co
следующими коэффициентами:
[D (Qi-V*')] = ?Qi'jVi'VJ] = 1,
[Т (Qi-V*')] = [QiTV"V' + Qi= 0,
[D2 (Qi-V*')] = [9.i.jkVi'V1Vk + Qi'^'DVi] = 0,
[DT (Qi-V4')] = [Qi7k.V*'VV' + Qi'^V'^'V^] = 0,
(11.191)
[T*( Qt-V*')] = [Qi 'rvWvi'v*' + 2Qi'j'Vi'lfe'HJ'nfe' + Q^^yy'] =
2У4|,цУ, [D3 (Qi-V*')] = [Qi^'D^] = - ViD2V1 = DViDV\
\D2T (Qi-V*')] = [QvjV'WDV1] = - VujvlW,
[DT2 (Q^')] = [Qi"ih'*'V''Vy+ Qi4V\lm ц*'цт'Уу] =
= - - ViWhmliV"=i^+^|У ПУ,
[T3 (Qi'V1')] = [2Q irVf^yV'r' + QiwVf;.h.|i,',|i*'l*'n'] = 3Vi№|i'|iVh-
Таким образом,
Qi, yi' = s + T2Vii juV +1 {s3D ViD V4 - SsHV^DV1 +
+ st2 (K + 3Vii,-|iyV|ftHft) + Зт3У№мУУ} + 04. (11.192)
Сложив вместе (11.190) и (11.192), подставив в сумму вместо s его
выражение (11.186), получим
Qi'V'' + QiV4 = Лт2 + Вт3 + 04,
Л = У^цУ-ц4ВУ4, (11.193)
В = -1 ц4В3У? -1 V(|j|i W +у к +1 У^П2 +
§ 9. Спектральное смещение в среде
347
Из (11.186) и (11.192) имеем
Qi- V1' = т - Ст2 + 03.
С=1^г-У^у. {11Л94)
При подстановке этих выражений в (11.185) получается следующая формула
для спектрального смещения:
-* iIct+O,2 = ЛТ + ЕХ* + °3' (11Л95)
Е = В + АС=-± vPW1 - i VmyJDV* + ± К + ~ Vi"P;'V>h +
+ Y (Vm + 3DVMtf l*W - (V'iui*V,')a-
Мы выберем приближение такого порядка, чтобы проявилось действие
гравитационного поля. Оно проявляется через коэффициент Е, т. е. не
сказывается на главной части смещения, равной
2^L = r(Vi]jViilii-ViiDVi), (11.196)
что легко объяснить. Для этого напомним формулу (4.62)
УщрУ = аццУ, (11.197)
где oi} - тензор распространения натяжений. Величина ^fiV1 является
компонентой вектора первой кривизны мировой линии наблюдателя
в направлении ОР'. При жестком (в смысле Борна) движении среды atj = 0, и
у нас остается только
^L=-rliiDVi. (11.198)
