Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь можно нарисовать картину в трехмерном пространстве Ферми, в
котором Х(а) будут играть роль ортогональных декартовых координат, а
четвертая координата Ферми X(4>(=s на Со) может рассматриваться как
разновидность ньютоновского времени. Траектория каждого зеркала дается
уравнениями вида Х(а) = Х(а)(Х(4>) = X(a)(s). Следует быть довольно
осторожным, говоря о расстоянии между двумя зеркалами, потому что этой
величине можно дать различные определения. Обычно наиболее удобно
пользоваться расстоянием Ферми. Квадрат такого расстояния между Сх и С2
для фиксированного s на С0 равен
^ = (X(ai) - хш) (Х(01) - Хш). (1.155)
Нет никакой опасности в использовании одинаковых обозначений для мировых
линий и соответствующих точек в трехмерном пространстве Ферми.
Изображение ДХ для данного значения s представляет собой тетраэдр (фиг.
99). По мере изменения s точки движутся, но Со неизменно остается в
начале координат.
Фиг. 98. Тетраэдрический дифференциальный хронометр в пространстве -
времени.
J) Поскольку здесь свет идет по двум путям, эти координаты удобнее, чем
оптические координаты, определенные в гл. II, § 30.
§ 7. Дифференциальная хронометрия
339
Если пространство - время плоское, С0 - геодезическая и тетраэдр не
вращается, то условия (11.153) и (11.154) гарантируют, что тетраэдр имеет
форму, приведенную на фиг. 100, с тремя взаимно перпендикулярными ребрами
длиной Т. Поскольку эти условия приблизительно выполняются во всех
физически интересных случаях, мгновенная форма тетраэдра в пространстве
Ферми должна мало отличаться от изображенной, но все же следует ожидать
появления некоторых малых искажений.
Чтобы выяснить поведение ДХ, необходимо проделать довольно трудные
вычисления, основанные на результатах гл. II, § 4 и на фиг. 30. Основой
для приближенного вычисления является ( предположение малости расстояний
между различными мировыми линиями.
К этому добавим допущение, что кривизна С0 мала и координаты Ферми почти
постоянны. В действительности мы отбросим член N4 в (2.279), а М3 и Nз
будем рассматривать как 04, но со-
храним Л44, чтобы исследовать влияние гравитации, хотя мы и знаем, что
кривизна пространства - времени мала.
Таким образом, для мировой функции
любых двух точек Р1 и Р" соответственно на С1 и Са запишем
Фиг. 99. Тетраэдрический дифференциальный хронометр в трехмерном
пространстве Ферми.
Й (/W= Ма + Л43 + W3 + Л44 + 08,
(11.156)
причем выражения для слагаемых даются формулами (2.280) - (2.283). Тогда
путь [01201, изображенный на фиг. 98, можно рассматривать как
составленный из трех изотропных геодезических, и, таким образом,
Q(P0P1) = 0, Й(/У>а) = 0, Й(Р2Р0) = 0.
(11.157)
Вычислим время прохождения по [01201 и другим путям, таким, как,
например, [0101. Это можно проделать путем рассмотрения второго уравнения
(11.157), используя его для нахождения (s2- s4) и получая затем остальные
необходи-Ф и г. 100. Стандартный тетраэдр, мые величины перестановкой
числовых
индексов.
Используя формулу (2.280), из (11.156) и второго уравнения (11.157)
получаем
Tv7
(s2 Sj)2 - Tj2 + 2MS + 2 N j + 2Л44 -|- Os
(11.158)
Отсюда без учета остаточного члена Oi(D = d/ds)
s2 si - ri2 -ЬSi^ru (^ (ai) - X (02)) DXfa) <p12 + ф12, (11.159)
22*
340
Гл. XI. Геометрическая оптика
где
Фхг - 2 Гхг + ^(<*2)) Х(")
- У r12S(a44p)''(X(ai)X(p1) + X(aa)X(p2) +X(ai)X(p2)) + + т
ri21S("Pve)^(ai)^(Pi)^(V2)^(e2)"
(11.160)
^12-2"5{арУ4) (X(ai)X(pi)X(V2)X(a2)X(p2)X(vi)).
Здесь Х(И) - компоненты вектора первой кривизны С0 в 3-репере Ферми, а
S(apYa) - компоненты симметричного тензора Римана [см. (2.69)]. Отметим
следующие важные факты:
Изменяя числовые индексы, можно применить соотношение (11.1<59) к
участкам пути [010]. Если эта линия начинается при s = 0, отражается при
s = sx и возвращается при s = s0, то мы получаем
So Si = Гц) + ^Ог10 -|- фiо¦
Сложение этих величин дает время обхода s0 = [010]. Объединяя аналогичные
результаты, имеем
Позднее мы еще вернемся к этим формулам.
Точно так же для пути [0120], изображенного на фиг. 98, получим
si = r0i + Х(а1)ДХ(а1) + ф01,
S2 - = Г12 + SjDr 12 - (X(ai) - Х(а2)) DX(a2) + Ф12 + +12> (11 ¦
164)
So s2 = г20 sJDr 20 + ф20.
В первом приближении
и, следовательно, складывая их с выражениями (11.164), имеем [0120] = s0
= (r0i + r i2+ r2o) + roi Dr 01 + (го1 + г 12 + r20)Dr02 +
+ r oiDr i2- + (ф01 + ф12 + ф20) + tpi2- (11.166)
Чтобы получить время обхода по тому же пути в обратном направлении, нужно
просто переставить индексы 1 и 2:
[0210] = (г02 + Г21 + Гю) + Г<пРГ02 + (Л>2 + Г21 + Г ю)^+ 01 +
Учитывая свойства симметрии в (11.161) и то обстоятельство, что, конечно,
г01 = гю и т. д., вычитая и складывая два предыдущих уравнения,
Ф12 - Ф21" Ф12 - Фг1-
(11.161)
-g- [010] - r0i + г o±Dr 01 + Ф01"
\ [020] = r02 + г02Dr02 + Ф02. 1 [030] = Год + r03Dr03 + ф03'.
(11.163)
(11.165)
+ Л)2^+21 + (фо2 + Ф21 + Фю) + Фг!- (11.167)
§ 7. Дифференциальная хронометрия
341
получаем
-у [0120210] - (r0i + ri2 +/"20) ^ 1 + у Dr01 + yDr20^) +ФИ +
