Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(опуская 02) формулу (2.95). Замечая, что в поле Шварцшильда тензор
Римана исчезает как 1/г3, можно сказать, что большая часть траектории
фотона проходит в почти полностью плоском пространстве - времени. Для
математического удобства мы идеализируем картину в соответствии с фиг. 6.
Так, положим Rijhm = 0 везде, за исключением участков, где
"!<"<"!, ы2<ы<ы2. (11.121)
Хотя мы мысленно переместим звезду в бесконечность, однако (иг - их) и
(ы2 - й2) оставим конечными. Тогда легко видеть, что из (2.95) следует
lim Й1щ. = 0,
k-*Q
(11.122)
где в силу (2.69)
-4 i giiaShbSabpqUpUqdu= J giiagiibR^UpUqdu. (11.123)
til
x) В некоторых аспектах их метод отличается от примененного здесь.
§ 6. Звездная аберрация
333
Мы должны подставить (11.122) в (11.120), но сначала упростим
обозначения, отбросив вторичный индекс 1. Тогда для бесконечно удаленной
звезды имеем *)
DUi = Wi]Ai, (11.124)
где А1 - 4-скорость наблюдателя, и
Щ = W}1 = С) gia,g]b,Ra'mUV'Uq. du. (11.125)
Тензор Wij можно назвать тензором аберрации, поскольку им определяется
звездная аберрация. Его значение зависит от точки Р на мировой линии
наблюдателя и от направления на звезду, но не зависит ни от 4-скорости
наблюдателя, ни от его 4-ускорения. Отметим, что
WitUi = 0, (11.126)
так как U1 параллельно переносится вдоль изотропной геодезической.
Есть одна тонкость, касающаяся канонического параметра и на изотропной
геодезической, соединяющей точки Ct и С2. До того как мы перешли к
предельному случаю бесконечно удаленной звезды, мы могли выбрать и на
одной из изотропных геодезических в виде любой линейной комбинации
канонических параметров, но, сделав такой выбор, мы должны фиксировать
этот параметр на других изотропных геодезических, потребовав, чтобы он
принимал постоянные значения на Сг и С2. Это ограничение не снимается при
рассмотрении весьма удаленной звезды, и мы имеем право произвольно
выбирать и только на одной изотропной геодезической. Однако, применяя
соотношение (11.124) в какой-либо одной точке Р, мы можем нормировать и\
проделаем это с помощью следующих эквивалентных требований:
t/i4i = l, t/(4)=l,t/(4)=-1, (11.127)
причем Я,(0) - ортонормированный 4-репер на линии Сх с касательной к ней
Я,)4). Следует тщательно следить за тем, чтобы требования (11.127)
применялись только после дифференцирования.
Теперь
U(a) = UiX\a) (11.128)
- угловые коэффициенты телескопа относительно 3-репера 1(а), если
смотреть с кривой Cv Следовательно, направляющие косинусы
телескопа
равны
(11Л29>
С помощью (11.127) для скорости изменения этих направляющих косинусов
имеем выражения
Dl(a) = DUm - U(a)D (UjA). (11.130)
До сих пор 3-репер Я,(а) был произволен. Теперь выберем его в виде репера
Ферми так, чтобы [как и в уравнении (1.84)]
Ок1а) = А1хМа), (11.131)
*) Эту формулу можно проверить с помощью (1.157), не забывая, однако,
различный смысл символа D там и здесь.Штрихи в (11. 125) относятся к
текущему событию на изотропной геодезической; g^a' - оператор
параллельного переноса, определенный в (2,71).
334
Гл. XI. Геометрическая оптика
где -вектор первой кривизны кривой C1('Kj = DAi). Тогда DU(a) =D (U^a)) =
Х4Я(а) -j- = Х(а) + W(а4),
(11.132)
D (и,А') = Up* + WjkA>Ak = t/(a)x(a> + W,
(44).
Здесь индексы в скобках означают компоненты относительно 4-репера Х\а
(Х(4) = Аг). Тогда из (11.130) следует
Dl( а) = Х(а) + l^(a4) - U(a)U($)Kw) - U (а) 1^(44)-
В силу соотношений (11.126) и (11.127)
^(ар)^(р) - W(a4) = о, W(4?)U(P) - W7 (4 4) = 0,
так что
W(a4) = ^(ССР)^(Р), 117(44) = W(ap)U(a)U(p).
Так как
U (а.) = ^(а).
(11.133) можно записать в такой форме1):
Dl(a) = T'(aP) (И(Р) + ^(Py)^Y)). где Р(ap) - 3-оператор проектирования
Р(а$) = бар - ^(а)Ар>-
Посмотрим, что означает (11.137) для астронома, наблюдающего звезду. Он
берет 3-репер Х(а) за координатные оси и строит небесную сферу
единичного радиуса (фиг. 96). Звезда представляет собой точку С с
координатами
1(a)', с течением времени эта точка движется: это и есть явление звездной
аберрации. Из формулы (11.137) видно, что в течение малого промежутка
времени ds точка 1(a) испытывает перемещение, которое можно разделить на
две части. Сначала точка смещается со сферы на расстояние
(11.133)
(11.134).
(11.135)
(11.136)
(11.137)
(11.138)
(>t(a) + ^(aY)^(Y)) (11.139)
Затем она снова переносится на сферу некоторым радиальным перемещением.
Смещение (11.139) состоит из части (х(а) ds), одинаковой для всех звезд,
и из другой части4, зависящей от того, какая конкретно звезда
наблюдается.
Вытекает ли из формулы (11.137), что звездная аберрация мала? Для земного
наблюдателя Х(а> имеет очень простой смысл. Это вектор, направленный
вверх, с модулем, равным g (так называемое ускорение силы тяжести;
Фиг. 96. Небесная сфера.
4) Очевидно, параметр и нормирован, как в (11.127). Легко видеть, что
W7(Py)/(y)
-'(Y) ]
?(P4Y4) -W(Y)
R
(PQY4
du,
(11.137a)
где область интегрирования та же, что и в (11.125), а величины R суть
