Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Ввиду изотропности рг имеем
р"*)р<") = (р(4))2. (11.109)
Таким образом, хотя астроном измеряет только три величины (два угла и
частоту), он определяет все четыре величины р(а), а следовательно, и р1
(в некоторой выбранной системе координат), поскольку х)
р*. = рЮХ\а)щ (11.110)
Тогда, имея в виду, что р1 - наблюдаемые величины, рассмотрим
наблюдателя, мировой линией которого является Сг (см. фиг. 94). Вся
оптическая информация, поступающая к нему в точке Рх, приходит от
событий, лежащих на изотропном конусе с осью Ръ направленной в прошлое2).
Пусть Са- мировая линия источника, излучающего фотоны частоты
v0 относительно
С2. Будем считать эту частоту постоянной, что соответствует
излучению
некоторой определенной спектральной линии.
Траектории всех фотонов, идущих от источника к наблюдателю, образуют
двумерную поверхность, составленную из изотропных геодезических.
9 Напоминаем, что индексы в скобках опускаются и поднимаются с помощью
1)<аЬ> = т)(аЬ) = diag (1, 1, 1,-1).
2) Для земного наблюдателя около половины его изотропного конуса закрыто
твердой Землей. Мы, естественно, интересуемся только той частью конуса,
которая не закрыта.
§ 6. Звездная аберрация
331
Пусть v - параметр, который постоянен на каждой из них, причем v = s (s -
время наблюдателя на Сх). Запишем, что
<илм>
и обозначим соответствующие 4-скорости через Л*1 и Л*2. Тогда
Л41 = У41, Лц= гу12 =¦. (11Л12)
V-Vhv>*
Пусть рг есть 4-импульс фотона, идущего от Р2 к Рг. Имеем1)
hV0=-PiA\ (11Л13)
4-импульс фотона в точках Рх и Р2 выражается через частные производные
мировой функции Q (Ръ Р2) следующим образом:
р{1 = ХП{1, p.2=-xQi2, (11Л14)
где х - величина, постоянная вдоль РгРг; в силу (11Л13) она равна
jivo^ (11Л15)
и, таким образом, вследствие (11Л14) имеет место формула
ftvnQ.-
p=-H-lL. (11Л16)
11 ahAJ*
В этой формуле содержится полное описание оптических наблюдений
рассматриваемого типа. Если известны мировая функция Q, точки излучения и
регистрации фотона и 4-скорость источника излучения, то формула (11Л16)
дает 4-импульс фотона в момент регистрации его наблюдателем.
Если для слабого гравитационного поля мы используем такие координаты, что
[см. (7.240)]
Ви = % + Уц, (11.117)
где Yiy малы, то для частных производных Q имеем формулы (7.250). Их
можно подставить в формулу (11.116), чтобы решить задачу астрономического
наблюдения. Для статического поля, в частности, имеем выражения (7.253),
тогда как для поля Солнца можно вычислить необходимые производные из
(7.256). Действительно, мы уже касались вопроса о спектральном смещении
при получении формулы (7.270). Мы не будем вдаваться в детали,
относящиеся к вопросу о направлении наблюдения.
Если мы используем формулу (11.117), то мы тем самым рассматриваем
явления в солнечной системе, однако нельзя осуществить такую координатную
систему на больших расстояниях, и, следовательно, ее нельзя использовать
в следующем параграфе, где обсуждается звездная аберрация.
§ 6. Звездная аберрация
Наблюдаемые пути звезд испытывают систематические изменения с периодом в
один год. Эти изменения можно описать, зная, что каждая звезда движется
по маленькому эллипсу на небесной сфере, причем на полюсе
*) Повсюду в этой работе вторые числовые индексы относятся к и Р2. Как и
в гл. II, мы обозначаем частные ковариантные производные Й нижними
индексами <5ез каких-либо дополнительных обозначений.
332
Гл. XI. Геометрическая оптика
эклиптики эллипсы становятся кругами, а на самой эклиптике - прямыми.
Радиус круга на полюсе равен vie рад, где v - орбитальная скорость Земли
при движении вокруг Солнца, и с - скорость света; этот угол равен
20'5" и называется достоянной аберрации. Угловая длина прямой линии на
эклиптике равна удвоенной величине этой постоянной. Далее известно, что
имеется аберрация с периодом в один день, зависящая от широты наблюдателя
и принимающая значения от 0,31" на экваторе до 0 на полюсе. Для
объяснения этих фактов астроном использует представление об эфире, в
котором покоится Солнце. Попытаемся найти объяснение им в искривленном
пространстве - времени (Мает и Стретди [703]) *).
Фиг. 95 является детализацией фиг. 94. Начнем с рассмотрения находящейся
на конечном расстоянии звезды с мировой линией С2. Введем на изотропной
геодезической, идущей обратно от Сг к С2, канонический параметр и,
пробегающий значения от (на Cj) до ы2 (на С"), причем иг < и2 (движению
фотона соответствует уменьшение и). Введем обозначение
Фиг. 95. Звездная аберрация.
dx
U' = - , k~1 = U%-U1.
Тогда из (2.17) имеем
и, поскольку мы движемся вдоль С1 (где D = 6/6s), то DUh= -k(QhhAh +
QilhVh).
(11.118)
(11.119)
(11.120)
Переместим теперь звезду в бесконечность вдоль изотропной геодезической
РгР2, сохраняя тот же параметр и. Это означает, что (ы2 - Uj) стремится к
бесконечности, или, что то же самое, k стремится к?нулю. Предположим, что
поле везде слабое, и будем пренебрегать членами, квадратичными
относительно тензора Римана, так что для вторых производных П имеем
