Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
•где все gi} не зависят от х4. Пусть в этой вселенной мы имеем прозрачную
среду 1), мировые линии которой совпадают с координатными линиями х4, и,
следовательно, ее 4-скорость V1 удовлетворяет условиям
V" = 0, gi 4(V")*=-1, V4 = V^r4. (11.79)
Показатель преломления п является функцией частоты v и положения ха, но
не зависит от х4.
Из предшествующей общей теории мы возьмем уравнение среды
ш(х, р) = 0, (11.80)
где
(r) (*. P) = ^r[giiPiPj - ("2- 1) (РсП2] (11.81)
и уравнения лучей
dx* ди у| 1 ро\
~dw~ ~~ дх4 ' 4H.OZ;
Важным свойством в статическом случае является то, что со не за-
висит от х4, и из уравнений лучей следует, что
р4 = const (П-83)
вдоль каждого луча. Тогда
/IV=-piVi=-p4^=-p4 V-g*- (П-84)
и, следовательно, мы знаем, как изменяется частота при движении вдоль
луча: она пропорциональна V4 [т. е. ( - g44)1'2, или (- g44)~1/2]. Таким
образом, мы снова приходим к формуле смещения спектральных линий (7.233).
С помощью соотношений (11.79) приведем выражение (11.81) к следующему
виду:
со(х, p) = ~(g°^PaP&-n2%2), (11.85)
где мы приняли обозначения
% = PiV4= -hv. (11.86)
Для данной среды п является функцией % и ха, и, следовательно, слагаемое
п2%2 в (11.85) - заданная функция этих величин. Имеем
Теперь запишем уравнения лучей (11.82) подробно.
dxa dx* д
dw - (r) dw ~ Л дХ
dP а
- "X -мШ-V-8**,
(11.88)
ё*1РьРч + "X (ПЗС) ¦ Pi (У -?44).<*>
dw ~ 2 | -л дх
причем р4 = const. Скорость v луча относительно среды определяется
формулой
2_ Safi dxa dx(r)
V~-ga(dx4)*' ^И-бУ1
*) В гл. VII, § 9 мы рассматривали вакуум.
§ 4. Геометрическая оптика в статической вселенной
327
где ^' - смещение вдоль луча. Из уравнений (11.88), используя (11.80) и
(11.85), получаем
dxa dx^ "д о о
-^=^PaPS = "2X2,
и, следовательно,
Таким образом, имеем
1 _ д v ~ дх
("x)| = |^r("v)|=|w(-r)
(11.90)
(11.91)
(11.92)
где и( - rf1) - скорость волны. Ясно, что это выражение в точности
•совпадает с классической формулой для обратной величины соответствующей
групповой скорости1).
Если среда -недиспергирующая, то уравнения лучей несколько упрощаются,
поскольку дп/д% = 0. Вследствие выражения (11.65) лучи можно
рассматривать как изотропные геодезические относительно измененного
метрического тензора /
""-".,+(¦ -ж) у,у,.
который в данном случае имеет вид
(11.93)
(11.94)
§а& - §"Р> §а4 - 0, §44 - П 2§44-
Что касается вариационных принципов в статическом случае, то для среды,
вообще говоря, диспергирующей, лростейшим является принцип А в форме
(11.40), который можно преобразовать так, чтобы временная координата х4
не входила в рассмотрение. На фиг. 93 изображены две х4-линии С' и С и
луч Р'Р, соединяющий их. Сравним этот луч с соседней кривой Q'Q,
соединяющей линии С' и С, и, вообще говоря, имеющей другие конечные
точки. Мы уже видели, что р4 -величина постоянная вдоль Р'Р. Теперь будем
считать, что р4 имеет то же самое значение и на Q'Q, а значения остальных
компонент ра выберем так, чтобы удовлетворить условию со (х, р) = 0,
которое, повторяем, не содержит х4. Переходя от Р'Р к Q'Q, имеем
Фиг. 93. Вариационный принцип А в статическом случае.
^ Ра dxa = ^ (6ра dxa + ра6 dxa) = = ^ (6ра dxa - 6Х" dpa) =
(11.95)
Ч Тождественность групповой и лучевой скоростей уже установлена более
общим методом в § 2 настоящей главы.
328
Гл. XI. Геометрическая оптика
Но 6сй = 0, bpi = 0, да>/дх* = 0, и, таким образом, получаем вариационный
принцип
причем р4, как установлено выше, не варьируется, а конечные точки могут
скользить вдоль х4-линии. Это чисто статический принцип.
Можно рассматривать (11.96) как принцип А, выраженный через переменные ха
и ра; х4 здесь вообще отсутствует, a pi следует считать, просто
фиксированной величиной. Тогда с помощью математического метода,
применявшегося ранее, но уже для меньшего числа измерений, можно вывести
статические принципы Б и В.
Получим статический принцип В. Как и в случае (11.69), мы должны при (в,
определенной формулой (11.85), решить уравнения
Мы должны использовать эту функцию в принципе В [см. (11.75)] Тогда
и, так как р4 - величина постоянная, ее можно опустить при варьировании.
Таким образом, мы приходим к вариационному принципу (типа принципа
Ферма)4)
причем конечные точки закреплены, а параметр w - произволен.
Выберем параметр w равным пространственному расстоянию а, так что
который сильно напоминает принцип Ферма в классической форме (11.76),
если ввести в показатель п появившийся здесь дополнительный множитель.
В изложенной выше теории не имеет значения дисперсия среды, поскольку,
задав р4, мы тем самым ограничиваем рассмотрение только системами с одной
частотой, но если желательно получить принцип стационар-
9 Для простоты мы ограничились статическим случаем, но в том же плане
можно рассмотреть стационарный случай, когда ga4 Ф 0 и все величины не
зависят от х4. О принципе Ферма в стационарном случае см. Леви-Чивита
[636, 638], Синг [1151].
6 ^ PadxP - O, <fl (X, р) = О,
(11.96)
