Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Общая теория относительности " -> 149

Общая теория относительности - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Общая теория относительности — М.: ИЛ, 1963. — 432 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 143 144 145 146 147 148 < 149 > 150 151 152 153 154 155 .. 211 >> Следующая

уравнение для определения p4Vl в виде функции от V{zl. Таким образом, мы
можем положить
Подставляя это выражение в (11.60) и считая, что подстановка произве'
дена и в gy и п', мы получаем L (х, z) как функцию (х, г)2).
*) Нельзя путать смысл знака "штрих" у п и у хг.
2) Можно проверить, что функция L (х, г), полученная таким путем,
удовлетворяет
уравнению (11.49).
(11.55)
Отсюда, используя обозначения (11.27), получаем
Pi = gi№ + nn' (phvhyv>]-
(11.56)
таким образом,
Pizi = iyzV + пп' (phVh)2 ¦(r) = у gliPiPj = у iy-zV + пп' (Pby*)2^!" - -i-
п'г (pkvft)4.
(11.57)
8ii = gii + V-n-') VtV},
(11.58)
следовательно,
gijV'V'= -n*.
(11.59)
В силу (11.57) имеем
L(x, z) ^PiZ* - со = -^-gijZiz,' + -j- n'2(phVk)4. (11.60)
(11.61)
(11.62)
PiV' = ^(Vi2l).
(11.63)
21*-
324
Гл. XI. Геометрическая оптика
Так как практически дисперсия обычно мала, естественно искать
приближение, основанное на малости п'. Однако такого рода приближение
приводит к весьма сложным выражениям, и мы этого вопроса здесь касаться
не будем. Чтобы в каком-либо конкретном случае найти лучи, нет
необходимости пользоваться вариационным принципом, а следует^ решать
уравнения (11.41) для лучей. Но если уж мы оказываемся не в состоянии
выполнить приближение с учетом малости п', мы можем положить п' - 0 (так
что п становится функцией положения в пространстве-времени). Именно так
обстоит дело в случае недиспергирующей среды, и теория для нее принимает
простой и удобный вид.
Для недиспергирующей среды вместо (11.60) получаем L (х, г) в следующей
форме:
L(x,z)-=~g ij-zV, (11.64)
где gn определяется формулой (11.58). В силу (11.57) мы видим, что to -
L, и, таким образом, необходимо, чтобы на луче было L = 0. Если г
заменить на х', принцип Б дает
Ь ^ gijX1'х}'dw = 0. (11.65)
Однако из всех возможных экстремалей следует взять только те, для которых
gijXl'xr = Q. (11.66)
Таким образом, мы приходим к замечательному результату (Балац
[13],
Фам May Кан [918]): в среде без дисперсии лучи являются
изотропными
геодезическими относительно модифицированного метрического тензора
iu-Sii + (l-sr)w. (11-67)
где п - показатель преломления, а Vх - 4-скорость среды.
Перейдем теперь к рассмотрению третьего вариационного принципа, который
неприменим, если со (х, р) - однородная функция по р (как это имеет место
в случае недиспергирующей среды). Ввиду этого предполагаем, что среда
является диспергирующей. Начнем с формального вычисления, которое, исходя
из данного уравнения среды
со(х, р) = 0, (11.68)
приводит к рассмотрению некоторой функции F (х, г), зависящей от Xх и
четырех других переменных zl. Запишем уравнение
2'"0-fr. (11.69)
Решая его относительно р, имеем
Р* = Р"(*,(11.70)
Подставляя это в уравнение (11.68) и решая его относительно 0, получаем
0 = 0(x, z); (11.71)
необходимо, чтобы 0 была однородной функцией первой степени относительно
z*. Подставим 0 в формулу (11.70) и получим р{ как функцию
§ 4. Геометрическая оптика в статической вселенной
325
Xх и zl, однородную и имеющую нулевую степень относительно г1. На конец,
определим функцию F(x,z) следующим образом1):
Следует отметить (и это важно), что если мы придадим какие-нибудь
значения х1 и г1, то значения р%, получающиеся из соотношений (11.69) и
(11.71), с необходимостью удовлетворяют равенству (11.68). Теперь возьмем
какую-либо кривую хг = xl'(w) и обозначим dxl/dw=
то уравнение (11.68) при этом заведомо удовлетворяется, и из (11.72)
следует, что
Тогда принцип А в форме (11.40) приводит к следующему принципу. Принцип
В:
причем здесь вариация производится с закрепленными конечными точками и
без всяких дополнительных условий.
Отметим различие между принципами Б и В:
1) принцип Б применим к недиспергирующим средам, тогда как В не применим;
2) в принципе Б параметр имеет фиксированные значения на концах, тогда
как в В он произволен ввиду однородности F.
Классический принцип Ферма имеет вид
где do -элемент длины в трехмерном евклидовом пространстве. Мы мо жем
выбрать в (11.75) w - s, и тогда получим
что по форме сходно с (11.76). Но здесь нет глубокой аналогии, потому что
da и ds имеют совершенно разный смысл, а К не является показателем
преломления. Подлинный аналог принципа Ферма дан в следующем параграфе.
§ 4. Геометрическая оптика в статической вселенной
Рассмотрим статическую вселенную с метрикой вида
9 Отсюда ясно, что этот метод становится непригодным, если ш - однородная
функция рг, поскольку при о) = 0 имеем F = 0. Хотя вообще вариационный
принцип В [см. (11.75)] и не подходит для недиспергирующих сред, его в
измененной форме можно применять для любой среды в статическом случае
[см. (11.102)]. Несколько более детальные вычисления для диспергирующей
среды см. у Синга [1176].
F(X, z) = p{zx.
(11.72)
= хг . Если за определение р1 взять соотношение
да> х1
(11.73)
dPi 0 (х, х') '
0 (х, х') '
(11.74)
(11.75)
(11.76)
(11.77)
ф = gaр dxa dxfi + gu (dx1)2,
(11.78)
326
Гл. XI. Геометрическая оптика
Предыдущая << 1 .. 143 144 145 146 147 148 < 149 > 150 151 152 153 154 155 .. 211 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed