Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
дифференциальному уравнению в частных производных вида (х, р) - 0. Мы
определим лучи, как характеристики этого уравнения. Впоследствии мы
продолжим построение теории на этой основе, а сейчас выведем
эквивалентные вариационные принципы, которые, если угодно, могут быть
положены в основу геометрической оптики.
Рассмотрим следующий вариационный принцип:
Принцип А:
b\)pidxi = 0, а(х, р) = 0. (11.40)
Здесь рассматриваются кривые, соединяющие пару фиксированных точек, в
дать каждой из которых pt произволен с точностью до дополнительного
условия со (х, р). Как и в гл. I, § 7, принцип А эквивалентен
дифференциальным уравнениям
dx1 д(о dpi да> /11 4 1\
1ШГ~~др1 ' П1-41)
где w - канонический параметр. Поскольку уравнения (11.41) в точности
совпадают с уравнениями лучей (11.28), ясно, что оптические лучи
удовлетворяют принципу А и могут быть найдены, исходя из него. Если бы мы
следовали этому пути, то связанные с данными лучами волны можно было бы
определить с помощью метода, изложенного в гл. I, § 7.
Прежде чем перейти ко второму вариационному принципу, проведем несколько
формальное исследование, считая, что со (х, р) - любая функция, для
которой
(п-42>
Необходимо ясно представлять себе, что мы имеем дело с функцией <в, а не
с уравнением со =* 0.
Положим
г'=^ (11.43)
И
<1L44>
Имея в виду (11.42), можно решить уравнение (11.43) относительно
компонент вектора pit получая при этом = pt (х, г). Подставляя полученное
в (11.44), имеем L = L(x,z). Будем искать выражения для частных
производных L1).
Величины (х, р) могут произвольно меняться' тогда вариации по z
получаются из (11.43). Таким образом, соотношение
в*1=+л ^ ад - дй ^ <11 -45>
!) Мы собираемся привести рассуждения,4 аналогичные тем, с которыми мы
сталкивались в классической динамике в процессе перехода от гамильтонова
формализма к лагранжеву. Желательно остановиться на этих рассуждениях
подробнее, поскольку при классическом рассмотрении фигурирует абсолютный
параметр t, здесь отсутствующий.
21 Дж. Л. Синг
322
Гл. XI. Геометрическая оптика
превращается в дифференциальное тождество, если сюда подставить
Ьг1--
6xk ,
Следовательно,
dpi dxk
dL , dL d2co
дх1 дг> dpj дх1
(-s-'O
Из (11.48) и (11.42) получаем
¦Рг
dpi dpk
д2со
SPh-
дсо
др^ дх1 дх1
<Э2со
dPj dpi
dL
dzi ~Pi'
и тогда из соотношения (11.47) имеем
3L дш
дх1
дх1
(11.46)
(11.47)
(11.48)
(11.49)
(11.50)
Изложенное выше есть формальная процедура, с помощью которой, исходя из
произвольной функции со (х, р), удовлетворяющей (11.42), мы построим
функцию L (х, г) и ее частные производные.
Перейдем теперь к оптике. На фиг. 92 С есть путь, соединяющий точки Р и Q
так, что удовлетворяются уравнения (11.41); при этом параметр до
пробегает значения от дох до до2. Луч С принадлежит семейству кривых,
соединяющих Р и Q; пусть D является некоторой произвольной кривой этого
семейства.
В первую очередь нужно произвольным образом ввести параметр до на кривой
D, но так, чтобы он принимал на концах значения доь
(w,)p
Фиг. 92. Вариационный принцип Б.
на концах значения доь доа. Теперь, если мы запишем xv = dxl/dw, то
получим векторное поле xv, заданное на С и на D. На С в силу (11.41)
дсо
*5рГ'
хг =¦
(11.51)
Для нашего метода характерно то, что это же уравнение используется для
определения векторного поля pi и на линии D. Но это уравнение в точности
совпадает с уравнением (11.43), где вместо г1 фигурирует х%, и, таким
образом, мы строим на С и на О функцию L (х, х'), частные производные
которой имеют вид
dL dL дсо /11 с о\
Pi' 1ГГ=--ГГ- (п-52)
дхг дх1 дх%
Тогда интеграл ^ L(x,x')dw на С и на О приобретает смысл. На кривой С в
силу (11.41)
-jLJk = JEi- + = о. (11.53)
dw дх1' дх1 dw dx1
Но это - хорошо известные уравнения Эйлера - Лагранжа для вариационного
принципа.
Принцип Б:
б ^ L(x, x')dw = 0 (11.54)
§ 3. Вариационные принципы в геометрической оптике
323
для фиксированных конечных точек и фиксированной области изменения w.
Поэтому оптические лучи удовлетворяют как принципу А, так и принципу Б.
Обычно отдают предпочтение вариационному принципу в форме Б. Его
преимущество состоит в отсутствии какого бы то ни было дополнительного
условия. Однако в геометрической оптике диспергирующей среды следует
отдать предпочтение принципу А, потому что функция со (х, р)
рассматривается как заданная, тогда как для нахождения L мы должны решить
(11.43) относительно рк, что практически может оказаться весьма сложным.
Исследуем уравнения (11.43) с со, данным в виде выражения (11.23). Нам
нужно решить [ср. с (11.25) и (11.29)] относительно р четыре уравнениях)
В формуле (11.57) мы сократим последний член с учетом того, что
Но мы еще не выразили L, как это требуется, через (х, г), поскольку
компоненты р присутствуют как явно, так и неявно в gу и п'. Чтобы
исключить их, учтем, что
Поскольку п предполагается заданной функцией частоты, или, что
эквивалентно, скаляра выражение (11.62) можно рассматривать как
