Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
р) = 0 вместо подставить /ti. Таким образом, (11.30) представляет собой
обычное физическое требование, заключающееся в том, чтобы групповая
скорость не превышала фундаментальную скорость (скорость света в
вакууме).
Если в (11.30) имеет место знак равенства, то луч изотропен. В случае
неравенства луч временноподобен, и его единичный 4-вектор определяет 4-
скорость луча.
Система лучей, связанная с фазовыми волнами, образует когерентную систему
(в том смысле, в каком это понималось в гл. I, § 7), так что для любого
сводимого замкнутого контура в пространстве - времени
§Рьйх1 = 0. (11.34)
В случае такой системы можно представить себе пространственно-временную
картину фазовых волн, векторов частоты (нормальных к волнам) и лучей (по
соображениям причинности, временноподобных или изотропных, но, в общем,
не ортогональных к волнам).
Каково место фотона2) в этой картине? Принимая во внимание соотношение
(11.6), кажется естественным считать р1 4-импульсом фотона, связанным с
системой волн, а луч рассматривать как историю фотона. В случае фотона,
движущегося в вакууме, ранее было сделано несколько естественных
предположений:
1) его мировая линия - изотропная геодезическая;
2) его 4-импульс есть касательная к этой мировой линии и претерпевает
вдоль нее параллельный перенос.
Как отмечалось выше, для фотона в прозрачной среде ни одно из этих
условий не выполняется. В случае недиспергирующей среды 4-импульс
пространственноподобен, что имеет место также и в случае среды с малой
дисперсией. Тем не менее рассмотрение фотона в среде можно свести
к рассмотрению его в вакууме, так как в этом случае
выражения (11.22) и (11.23)
приводятся к следующему виду:
" (*> Р) = 4 8UPiPi = °. С11 -35>
и для уравнений лучей (11.28) будем иметь
-S-'-tsSw-- <п-36>
Как и в (5.156), эти уравнения определяют свойства фотона в вакууме,
описанные выше.
') См. работы Синга [1173, 1176] и § 4 настоящей главы. Обсуждение
вопроса о фазовой сксрости, групповой скорости и скорости сигнала можно
найти в работе Бриллюэна [90].
2) Ради придания физического смысла изотропным геодезическим внутри
среды, в гл. 111. § 3 слово "фотон" означало фотон очень высокой энергии.
Это ограничение, разумеется, здесь снимается.
320
Гл. XI. Геометрическая оптика
Для иллюстрации изложенной теории волн и лучей рассмотрим излучение
частицы, движущейся в прозрачной среде. Пусть Г (фиг. 91) - мировая линия
частицы с 4-скоростью У1 и пусть v0- частота излучения относительно самой
частицы (не обязательно постоянная). Тогда в произвольной
точке Л на Г в силу (11.6) и (11.22) мы имеем
.piyi=-Av0, ю(х, р) = 0. (11.37)
Здесь во второе уравнение входит 4-скорость среды У1.
Хотя на вектор pt в точке А наложено ограничение в виде этих двух
уравнений, все же он имеет две -степени свободы. Каждому выбору pt
соответствует луч и набор векторов р{ вдоль него, получаемых с помошью
(11.28). Множество со2 лучей, исходящих из точки Л, образует конус1),
изображенный на фиг. 91 одним лучом. При движении Л вдоль Г мы получим
со1 таких конусов и, таким образом, заполним все пространство лучами и
полем векторов Pi(x). Теперь легко получить фазовые волны, используя
метод, изложенный в гл. I, § 7. Если в точке Л находится гребень (ф = 0),
волну нулевой фазы можно получить, находя все точки В, удовлетворяющие
условию
в
^ Pi rfjc1 = 0. (11.38)
А
В силу (11.34) оказывается, что интеграл в (11.38) не зависит от пути
интегрирования (на фиг. 91 пунктирными линиями изображены пути
интегрирования, а сплошными - фазовые волны). Тогда уравнение п-то гребня
имеет вид
в
\)pidx%=-nh. (11.39)
А
§ 3. Вариационные принципы в геометрической
оптике
В классической геометрической оптике и в классической динамике исходят из
некоторых основных уравнений, а остальные выводят из них. Когда
последовательная теория построена, то оказывается, что выбор отправной
точки логического развития является в значительной степени
делом вкуса, ибо одна и та же структура могла бы быть
получена на различ-
ной основе. Но во избежание недоразумений необходимо выбрать некоторую
основу и не менять ее в ходе рассуждений.
Гамильтон строит геометрическую оптику, основываясь на принципе Ферма, а
при построении динамики он исходил из ньютоновских уравнений движения.
Это было наиболее целесообразно с физической точки зрения. К настоящему
времени выявилась сильная тенденция уделять большое
V1 Y'
В(<р=4я)
В(<р=2я) лВ(ср=0)
Фиг. 91. Излучение частицы.
х) В случае черенковского излучения Г лежит вне конуса, образованного
лучами.
§ 3. Вариационные принципы в геометрической оптике
321
внимание вариационным принципам. Это наводит на мысль, что нам следует
основывать релятивистскую геометрическую оптику на принципе Ферма. Однако
в теории, включающей в рассмотрение дисперсию, нет простой и удобной
формы этого принципа. По-видимому, лучше всего начать с рассмотрения
волн, а не лучей. Как мы видели, фазовая функция удовлетворяет некоторому
