Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
которая фактически является частью гамильтоновой теории.
Рассмотрим прозрачную среду, описываемую ее 4-скоростью V1 и
определенными физическими свойствами (такими, как плотность),
совокупность которых обозначим символом q. Предположим, что пространство
- время задано, так что gijt V1 и q - заданные функции координат. В нашу
задачу входит построение теории геометрической оптики в среде на основе
разумных гипотез, вытекающих из рассмотрения классической теории.
В классической оптике мы описываем среду1), определяя показатель
преломления п как функцию частоты, считая другие локальные свойства,
совокупность которых была обозначена нами символом q, заданными. В данном
случае показатель преломления есть величина, обратная фазовой скорости,
и, следовательно, за основу релятивистской геометрической оптики мы
должны взять уравнение среды
"2=1 + _PiPL (11.21)
где п - показатель преломления (п = и'1), являющийся заданной функцией
координат х1 и phVh (- hv, где v - частота). Заметим, что V1 теперь
означает 4-скорость среды, а не 4-скорость произвольного наблюдателя, как
это имело место в § 1 настоящей главы, так что фазовая скорость и частота
измеряются в сопутствующей системе, связанной со средой.
Чтобы использовать гамильтонов метод для написания уравнения среды,
необходимо вместо р{ взять р1. Представим это уравнение в виде
а(х,р) = 0, (11.22)
где
<¦>(*, 1) (РУ1П (11.23)
Его можно написать также и в следующей форме:
)_
2
">(х, p) = l-gi}PiPj, (11.24)
где
gij = gij - (л2 - 1) VlVj. (11.25)
Легко видеть, что сопряженный ковариантный тензор gу, определяемый
соотношениями
~gi?ik = b), (11.26)
J) Мы рассматриваем только изотропные среды. Релятивистское рассмотрение
анизотропных сред было бы весьма сложным.
318
Гл. XI. Геометрическая оптика
равен
= (11.27)
Могло бы показаться, что это приводит к пространству - времени с новым
метрическим тензором, однако это не совсем верно, так как п зависит от pv
В случае же недиспергирующей среды п есть функция только положения, и
тогда gi} действительно можно рассматривать как второй метрический
тензор. Эти соображения будут использованы позднее.
Поскольку, согласно (11.3), р, = /,i( (11.22) представляет собой
дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка для
фазовой функции f(x). Как и в (5.153), характеристические кривые этого
уравнения удовлетворяют соотношениям
dx{ _ да dpj __ дш m 9RV.
dw dpi ' dw дх1 ' \ • г
где w-некоторый параметр. Эти характеристические кривые являются
оптическими лучами. Совокупность всех возможных лучей представляет собой
решения этих обыкновенных дифференциальных уравнений, причем каждое
решение определяется произвольной начальной точкой (х) и начальным
вектором частоты (р), который с точностью до соотношения (11.22) является
произвольным. Заметим, что (11.28) определяет не только луч, но и вектор
частоты в каждой точке луча.
В силу (11.23)
^- = ^_(n*_l)(p^)V4-nn'(piV')*V4, (11.29)
где п' - частная производная от /г по phVh. Таким образом, согласно
(11.28)"
направление луча лежит на двумерной площадке, определяемой вектором
частоты и 4-скоростью среды, как и следовало ожидать в случае изотропии.
Направление луча в общем случае не совпадает с вектором частоты, но в
вакууме это имеет место, так как здесь п = 1.
Если рассматривать какой-либо малый участок фазовой волны, то, как
следует из построения, проведенного в гл. V, § 7, этот участок
переносится вдоль лучей, причем фаза, вообще говоря, меняется, а соседние
гребни будут различаться между собой на ptdxl = - h (на "элемент
действия"). Будем рассматривать этот движущийся участок как сигнал
(передача информации или энергии). Тогда существенно, чтобы лучи были
временно-подобными (или изотропными), так как в противном случае
нарушится принцип причинности. Математически это требование запишется
так:
g *2i^-<0. (11.30)
dPi dPj ^
Независимо от того, является ли луч временноподобным, изотропным или
пространственноподобным, мы можем определить скорость луча v
(относительно среды), наблюдая за какой-нибудь точкой вдоль луча, как
показано на фиг. 89 (где W представляет собой данный луч). Простое
вычисление, основанное на соотношениях (11.10), (11.11) и (11.28), дает
так что неравенство (11.30) эквивалентно неравенству о<1. После
подстановки сюда to из формулы (11.23) прямое вычисление приводит к
следующим: соотношениям:
а<0 пЧрУ1У{\-я-\ V* = п (PiV{) q~\ (11.32)
§ 2. Волны, лучи и фотоны в диспергирующей среде
319*
где q определяется формулой
д = п + п'рГ = п+^ = ^(пу). (11.33)
В результате подстановки выражения (11.32) в формулу, (11.31) получаем v
= q. Существенными являются то обстоятельство, что формула (11.33)
представляет собой обычное определение групповой скорости1), и тот факт,
что мы установили тождественность этого определения с определением
лучевой скорости, сформулированным в терминах характеристических кривых
уравнения Гамильтона - Якоби, которое получается, если в уравнение со (*,
