Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
понятие отрицательных масс представляется нефизичным. Лучше всего было бы
построить набор моделей, каждая из которых представляла бы приемлемую
физическую систему, окруженную пустым пространством - временем. Наиболее
простой оказывается модель, где в качестве внутренней области I выбрана
сфера г2+ г2 < а2, заполненная материей с постоянной
"плотностью" а, и А, определена как ньютоновский потенциал А = - ^ q
^odl, где q - евклидово расстояние в пространстве (г, 2, ф), a dl -
rdrdzdy. Тогда А = -гп/q, где т = ^adl, ад - теперь расстояние от начала
отсчета. Отсюда с помощью (8.18) для метрики в области Е получаем ф = ехр
(d/-2 + d22) + r2exp(^)d92-exp (8.30)
Q2 = гъ + 22.
Но каков вид метрики во внутренней области /? Здесь мы поднимаем весьма
обширную проблему, ибо для I отсутствует хорошо поставленная задача. В
гл. VII, § 7 был полностью исследован случай сферически симметричной
жидкой сферы, и можно было бы подумать, что здесь также следует уделить
внимание прежде всего жидким телам. Однако из ньютоновской физики
известно, что условие статичности, накладывает ограничения на равновесные
сферически симметричные формы жидкости, и не следует надеяться найти в
теории относительности статическое жидкое тело, которое обладало бы
аксиальной симметрией, не будучи сферически симметричным.
Фактически мы должны отказаться от рассмотрения жидкостей и, безусловно,
от идеи о том, что структура материи задается априори. Нас должен
удовлетворять любой тензор энергии, в который входит вместо натяжений
давление и (что еще важнее) плотность в котором положительна. Это
означает, что мы требуем выполнения для I условий [см. (4.146а)]
Т\>0, Т\>0, Г2>0, 71 < 0, (8.31)
или, что эквивалентно,
G;<0, G2<0, G2< 0, GJ>0. (8.32)
Итак, мы получаем тело, ограниченное поверхностью S, определяемой
уравнением
f (г, 2) = 0. (8.33)
Эта поверхность отделяет внешнюю область Е от внутренней 7. На
поверхности S тензор Эйнштейна области I должен удовлетворять двум
условиям соединения2):
^i/н + Gf/,2 = 0,
G\f,^GU,2 = 0.
Для построения аксиально симметричного поля в ? и в I следует задать
метрику (8.3), содержащую три функции (а, Р и у) координат х1 и х2 (или
ь) Сферическая симметрия представляет собой частный случай аксиальной
симметрии. Чтобы вывести метрическую форму Шварцшильда, берут для А
потенциал нити (Эрец и Розен [317]; в этой же работе рассмотрено поле
квадрупольной частицы).
2) Мы не предполагаем, что (г, ф, г) - допустимые координаты, так как
это было бы опрометчиво. Условия (8.34) отражают тот факт, что на S
давление обращается в нуль.
270
Гл. VIII. Некоторые специальные пространства
эквивалентно г и г). В области Е, согласно соотношению Ру - г (см-
(8.13)], число функций сводится к двум. Однако в области I это не так,
поскольку здесь справедливо (8.15) и, следовательно,
При отличных от нуля G} и G\ (а противное нежелательно) равенство (8.35)
противоречит (8.32). Как в Е, так ив I элементарная евклидовость требует,
чтобы га/Р->1 при г-.i 0. Поскольку в Е задача полностью определена, а
требования в I состоят лишь из граничных условий (8.34) и неравенства
(8.32), представляется естественным начать рассмотрение с ? и затем
продвигаться внутрь. Но таксй путь отнюдь не легок. Весь процесс можно
разделить на следующие ступени:
1) выбор в Е гармонической функции Цг, г), убывающей на бесконечности как
(л2 + г2)-]/2;
2) вычисление с помсщью (8.23) v(r, z) в Е;
3) вычисление а, р и у в Е с помощью (8.17);
4) выбор в I функций а, р и у, непрерывных на S и переходящих в а, Р и у
в Е\
5) вычисление с помощью (8.4) Rtj в I и, следовательно, S) в /;
6) проверка с помощью (8.34) и исправление выбора (8.1) и (8.4), так
чтобы удовлетворялось (8.34);
7) проверка с помощью (8.32) во всем I.
Если (8.32) удовлетворяются, то (8.3) - подходящая метрика для полностью
аксиально симметричного физического пространства с материей в области I и
вакуумом в области Е.
Беда общей теории относительности - в большом, числе неизвестных функций
(десять компонент g^). Без решительного сокращения числа этих функций
вряд ли можно получить результаты, физически заслуживающие интереса. В
гл. VII благодаря предположениям о сферической симметрии это число
свелось к двум, в § 1 при несколько более сильных допущениях аксиальной
симметрии оно сократилось до трех (два в вакууме). Мы пойдем далее и
сократим число неизвестных функций до одной, обращаясь к случаю конформно
плоского пространства - времени.
Но прежде чем переходить к этому вопросу, желательно получить некоторые
результаты для двух пространств, которые находятся в конформном,
соответствии. Это означает, что их метрические тензоры g{j и g'{j
удовлетворяют соотношению
GJ + G^O.
(8.35)
§ 2. Конформно соответствующие и конформно плоские пространства1)
(8.36)
(8.37)
(8.38)
А" = тг (6}ф, н + } - g'ihg'iay, а)-
(8.39)
') Пространство понимается как четырехмерное пространство- время.- Прим.
ред.
