Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
легко видеть из (8.18), наше требование будет означать, что
v = 0 для г = 0. (8.25)
ально симметричное тело, изобра-женное в евклидовом трехмерном
пространстве.
Теперь v определяется из (8.23) лишь с точностью до аддитивной
постоянной; потребуем, чтобы v = 0 в точке А. Тогда v = 0 на А А', но в
точке В
-Ч[(?)ЧЙ0>+2
ADB
Si*}.
(8.26)
где интеграл (не зависящий от пути в Е) берется вдоль границы ADB или
вдоль произвольной кривой, которую можно перевести в нее посредством
деформаций. Поскольку на ВВ' величина v не имеет приращения, путь
интегрирования ADB можно заменить полуокружностью бесконечного радиуса.
Ясно, что условие элементарной евклидовости выполняется, если Я убывает
на бесконечности, по крайней мере не медленнее, чем (г2 + z2)-1/*.
Обратимся теперь к фиг. 80, на которой изображены два тела. Если X ведет
себя указанным выше образом, и v = 0 в точке А, то v = 0 и в точке С.
Однако нет оснований считать, что v = 0 на ВВ' и, следовательно,
предлагаемый метод решения проблемы многих тел оказывается непригодным. В
общей теории относительности этого и следовало ожидать, так как если бы
применение этого метода оказалось успешным, то это означало бы, что
существуют два массивных тела, покоящихся в начальный момент времени,
несмотря на взаимное гравитационное притяжение.
В ньютоновской теории невозможна ситуация, когда система свободных
частиц, в которой имеет место взаимное притяжение между частицами,
находится в состоянии равновесия. Однако равновесные системы возможны,
если допустить существование положительной и отрицательной масс (Бонди
[69]), предполагая, что имеет место универсальный закон квадратов (свой
для каждого из возможных знаков масс). Это наводит на мысль об
268
Гл. VIII. Некоторые специальные пространства
исследовании аксиально симметричных релятивистских полей, соответствующих
распределению "частиц" с постоянными массами т1т2... (не обязательно
положительных) на оси z в точках zx, z2>... Таким образом, мы 6iepeM
А,=
т j
Ql = r2 + (z-Zx)2, Ql = r2+(Z-Z2)\.
(8.27)
Тогда v можно вычислить из (8.26). Для двух частиц мы получаем (Кур-зон
[178, 1791)
v =
2тхт% Г л2-(-(г-гх)(г-г2)
2 Q}
(zi-z2)2
6162
1] . (8.28)
О
Для любого произвольного числа частиц величина v задается аналогичной,
но более громоздкой формулой. Легко убедиться, что, согласно (8.28),
v == 0 при г = 0, коль скоро z лежит вне интервала (zx, z2),
но v ф 0 при г - 0, если z лежит внутри этого интервала.
Следовательно, мы имеем случай, который можно назвать "двумя частицами,
соединенными подпоркой". В общем случае можно подобным же образом
говорить о подпорке, удерживающей частицы в заданных положениях, однако
можно и обойти это сомнительное выражение, утверждая, что (8.27) задает
аксиально симметричное поле в вакууме в области Е, не включающей отрезок
оси z, связывающий две крайние частицы. Область /, в которой этот отрезок
лежит, мы не затрагиваем. Сведем / к системе малых сфер радиуса а с
центрами в точках, где расположены частицы, и будем оперировать с
предельным случаем, когда радиус а очень мал. Область Е в этом случае
включает отрезки оси z, лежащие между этими сферами, и мы имеем в Е поле
без особенностей при условии, что на этих отрезках v = 0. Критерием
соблюдения этого условия может служить Ьбращение в нуль интеграла (8.26),
взятого для каждой из малых полуокружностей радиуса а с центрами в точках
zlt z2,... Например, чтобы исследовать этот интеграл для полуокружности
Фиг. 80. Для двух тел не может существовать статистического решения!
с центром, скажем, в точке zx, мы записываем (8.27) в виде А, = -щ/Qi +
А,', где при г - 0 и z = zx А,,' - конечная величина. Тогда интеграл
(8.26) распадается на три части. Первый интеграл имеет порядок от2,
однако фактически он обращается в нуль. Второй интеграл, вообще говоря,
конечен. Третий интеграл обращается в нуль вместе с а. Теперь осталось
только обратить в нуль второй интеграл. Для этого, как можно установить,
необходимо, чтобы выполнялось условие
дг
= 0 для z = z,
(8.29)
Таким образом, на оси v = 0, и поле в области Е регулярно (т. е. во всей
области Е имеет место элементарная евклидовость), коль скоро выполняются
условия типа (8.29) (для каждой частицы по одному условию).
Примечательно, что, поскольку А, формально представляет собой сумму
ньютоновских потенциалов частиц, эти условия тождественны ньютоновским
условиям равновесия - результирующая сила, действующая на каждую частицу,
должна обращаться в нуль. Можно утверждать, что когда постоянные,
характеризующие массы (положительные и отрицательные) и положе-
§ 1. Аксиальная симметрия
269
ния частиц, удовлетворяют указанным условиям, "подпорок" для удерживания
системы в равновесии не требуется1).
Несмотря на то, что изложенные выше рассуждения интересны и поучительны,
они имеют два недостатка. Во-первых, в теории нежелательно иметь дело с
сосредоточенными частицами (предел а -> 0 недостижим), и, во-вторых,
