Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 1. Аксиальная симметрия
265
Казн [136], Дармуа [188]) состоит в использовании координат (х1, х2), для
которых V имеет изотермическую форму:
'P = a2[(dx1)2 + (dx2)2], (8.2)
где а -функция координат х1 и х2. Таким образом, в несколько измененных
обозначениях
Ф = a2 [(dx1)2 + (dx2)2 + р2 (dx3)2 - у2 (dx*)2, (8.3>
где а, р и у -функции переменных х1 и х2. После простых, но громоздких
вычислений, использующих (1.106), мы получим для ненулевых компонент
тензора Риччи следующие выражения:
р _/аЛ j- faA I Рп , Ун , /Рг , Уг\ "i/Pi , УЛ
^-илНаЛ+т+т+а у)'
р Y а1~\ \( "гЛ | Р22 | Y22 I а1 (Pi 1 УгЛ "г/Рг I УгЛ
^"UJi + W, + T + T+a + v) '
р Р12 I Y12 "2/Pi , Vi'S "1/Р2 1 УгЛ /о 41
^33 = ^ {АР + Y (P1Y1 + РгУг)} >
^44 = ~ J {ДY + -^ (P1Y1 + P2Y2)} , ¦ где индексы в правой части означают
частные производные по х1 и х2, а
АР = Рп + Р22, AY = Yh + Y22- (8-5>
Заметим, что
К+ К = Р'^33 - Y'^44 = ^ A (PY)- (8-6>
Все эти соотношения справедливы независимо от того, присутствует материя
или нет. Рассмотрим теперь область, в которой материя отсутствует, так
что уравнения поля имеют вид
Ri} = 0. (8.7}
Тогда из (8.6) следует замечательный результат:
А (Ру) = 0. (8.8>
Это означает, что Ру есть гармоническая функция переменных х1 и х2.
Введем обозначение
ру = г(*1,х2);] (8.9>
тогда существует сопряженная гармоническая функция z(x1,x2), такая,, что
r + iz = f(x1 + ix2), (8.10)
где / - аналитическая~функция. Выполним теперь преобразование
(x\x2)~^(r,z). (8.11)
Поскольку это преобразование является конформным, изотермический характер
квадратичной формы при этом сохраняется, и, следовательно,
a2[(dx1)2 + (dx2)2] = A(dr2 + dz2), (8.12>
где Л -функция гиг. Далее, в силу (8.9) имеем
Р = -?, (8.13>
266
Гл. VIII. Некоторые специальные пространства
и, следовательно, Ф в (8.3) становится формой, содержащей только две
произвольные функции.
Чтобы представить этот результат в компактном виде, забудем о прежнем
смысле переменных х1 и х2 и положим
х:1 = г, x2 = z, xs = <р, xi = t. (8-14)
Забудем также о прежнем смысле функций а, р и у. Теперь мы утверждаем,
что в любой области, где выполняются условия аксиальной симметрии (в том
смысле, как она понимается здесь) и в которойх)
R33 + Rt = 0, (8.15)
метрическую форму можно привести к виду
Ф = a2 (dr2 + dz2) + г2у"2 dtp2 - у2 dt2, (8.16)
где а и у -функции переменных г, г. Теперь (8.16) с точностью
до соот-
ношения (8.13) фактически совпадает с (8.3). Следовательно, для вычи-
•сления тензора Риччи можно воспользоваться выражениями (8.4), исключая
отсюда с помощью (8.13) р.
Однако из формальных соображений удобно перейти от обозначений (а, у) к
(X, v), положив
а = ev~x, р = ге~х, у = ех, (8-17)
так что метрическая форма принимает следующий вид:
ф = g2(v-X) ^г2 ^22) -f- r2e~2X dq)2 - e2i- dt2. (8.18)
Из (8.4) получим
~2 (^и^22) = ^ "Ь
= 2КК-^, (8.19)
Rl + Rt = о.
Последнее из этих уравнений нам уже известно.
Потребовав, чтобы удовлетворялась полная система уравнений поля в вакууме
(8.7), мы получим
М + ^1 = 0, (8.20)
Ч = г(а*-х;), v2 = 2 (8.21)
Av + А,; х; = 0. (8.22)
Если уравнение (8.20) удовлетворяется, то уравнение (8.21) интегрируемо,
а (8.2?) представляет собой следствие двух первых уравнений. Итак, в
любой области Е, в которой справедливы уравнения поля для вакуума, поле
можно вычислить посредством следующих операций', выбираем в качестве X
любое решение уравнения (8.20), a v определяем по формуле
v=^r[(X21-Xl)dr + 2X1Xidz\, (8.23)
где путь интегрирования лежит в Е.
х) Хотя мы и выписали все уравнения поля в (8.7), однако использована
была лишь одна комбинация (8.15).
§ I. Аксиальная симметрия
267
Теперь мы подходим к самому удивительному обстоятельству в этих
рассуждениях. Мы замечаем, что уравнение (8.20), выписанное в явном виде
д2Х
_ . + ±^ + ^. = 0 дг2 ^ г dr ~ дг1 '
(8.24)
представляет собой не что иное, как уравнение Лапласа в цилиндрических
координатах (л, ф, z) в евклидовом трехмерном пространстве для функции,
не зависящей от ф. Это позволяет легко отыскать решение (8.20). Цель
всего проведенного анализа в ее физическом аспекте состоит в изучении
гравитационного поля невращающегося тела с аксиальной симметрией. Выберем
переменные г, ф и z в качестве цилиндрических координат в трехмерном
евклидовом пространстве и построим схематическое изображение (фиг. 79)
некоторого тела; обозначим внутреннюю область через /, а внешнюю - через
Е. Можно ¦ожидать, что метрическая форма в Е имеет вид (8.18), где X(r,
z) - некоторая гармоническая функция, а v(r, z) определяется формулой
(8.23).
Метрика в / совершенно другого рода. Однако прежде чем думать об /,
необходимо рассмотреть вопрос об элементарной евклидовости в Е. Чтобы
последняя имела место, для любой бесконечно малой простран-
•ственноподобной окружности отношение ее длины к радиусу должно быть
равно 2п. Опасным местом является ось г; если взять малую окружность, на
которой г, г и t постоянны, причем г - бесконечно малая величина, то, как
