Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
источ-
ником и наблюдателем.
!) См. примечание 1 на стр. 261.
г) Фактически мы рассматриваем компоненты скорости как величины первого
порядка малости (Oi), аналогично у, у, и опускаем члены 02. Однако в
случае солнечной системы скорости плаиет оказываются величинами порядка
(т/г)1?2, тогда как у-члены- порядка т/r (где т-Масса Солнца; г-
расстояние от его центра до поверхности; m/r = 2-10-6). Это наводит на
мысль о приближении, в котором Vai и Va2 имеют порядок Oi/2, а учлены-
порядок Ох. Такое приближение можно провести без больших добавочных
вычислений; требуемый результат получается, если к правой части (7.270)
добавить следующий член:
^Хd (V012 Vai) | -
(7.270а)
§ 9. Спектральные смещения и мировая функция
263
Первый член вформуле (7.270) соответствует эффекту Допплера,
обусловленному относительным радиальным движением, второй член описывает
гравитационный эффект (как и в случае солнечного спектра), тогда как
другие члены - изменение поля во времени. Последние обращаются в нуль,
если предположить, что поля меняются во времени очень медленно. Здесь,
однако, надо соблюдать некоторую осторожность, связанную с наличием
множителей, которые принимают большие значения при больших ДА В наших
приближениях At рассматривается как конечная величина, которая, однако,
становится большой в случае удаленной звезды. В последнем случае
исключение последних членов в (7.270) было бы необоснованным. Однако
полное рассмотрение вопроса о приближениях для слабых полей, разумеется,
слишком сложно, чтобы его можно было исчерпать здесь1). Настоящая глава
посвящена рассмотрению пространств - времен со сферической симметрией, и
здесь мы позволяли себе "блуждать" вдали от поля Солнца лишь для того,
чтобы затем снова обратиться к проблеме спектрального смещения в этом
поле, опираясь на более общие соображения.
Возвращаясь к формуле (7.256) для поля Солнца, мы замечаем, что
cos 02j ,
(7.271)
где РХР2- евклидово расстояние (см. фиг. 78), а 0, и 02 - углы,
образуемые линиями ОР2 и ОР2 с отрезком Р2Р2.
Ьха ДхР ^ dw = РХР2 Ап + cos 0Х -
0 \ 2 2
\ dw _ D D 1П tgVifll
tgv.e, '
•) Относительно астрономических наблюдений и звездной аберрации см. гл.
XI, 5 5 и 6. В гл. XI, § 9 обсуждается спектральное смещение в
приближении не малости кривизны пространства - времени, а близости
источника и наблюдателя.
Глава VIII
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА1)
§ 1. Аксиальная симметрия
В рамках ньютоновской физики аксиальную симметрию гравитационного поля
определить легко: если пользоваться цилиндрическими координатами (г, ф,
z), такими, что на оси симметрии г = 0, то гравитационный потенциал не
зависит от азимутального угла ф.
Пытаясь перенести это понятие на случай теории относительности, мы
приходим к случаю физического пространства, для которого метрический
тензор gi} не зависит от одной из координат, причем эта координата (ф)
является циклической в том смысле, что, увеличивая ее на 2я, мы
возвращаемся в ту же точку, если другие координаты фиксированы.
Фактически в этом случае пространство - время допускает группу движений
вдоль
ф-ЛИНИЙ.
При такой общей ситуации, когда необходимо знать 10 функций трех
координат, получить какие-либо результаты, представляющие интерес, почти
невозможно. Если ввести условие стационарности, то тем самым тензор g{j
будет сделан независимым ни от ф, ни от t. Но и этого оказывается
недостаточно, поскольку мы все еще имеем дело с десятью функциями.
Поэтому сделаем еще один шаг, предположив, что фи / обратимы в том
смысле, что метрика не меняется, если ф заменить на -ф, или t на -t.
Физически это означает, что мы имеем дело с материей, не испытывающей
вращений2). Математически это означает, что метрическая форма содержит
лишь квадраты сйр и dt, так что она имеет вид
Ф = Y + ёзз (^х3)2 + gu (dx*)2,
W = gll(dx*)2 + 2g12dx*dx2 + g2i(dx2)2,
где gop - функции х1 и х2; мы обозначили ф через х3, a t - через х*.
Теперь остается лишь пять неизвестных функций. Но мы сразу же можем
сократить это число до трёх3). Основной момент.применяемого ниже
искусственного приема (Вейль [1350, 1355], Леви-Чивита [631-635], Бах
[12],
*) В оригинале "universes" ("вселенные"-англ.), но в данном случае вместо
мало-употребляемых в русской литературе терминов "миры", "вселенные"
здесь употребляется термин "пространство", под которым понимается
физическое пространство - время.- Прим. ред.
г) Поле вращающегося тела изучали в линейном приближении Лэнс и Тирринг
[630] и Тирринг [1233]. См. также Стокум [1130, 1131], Кларк [151, 153,
158-160], Дэс [190].
(Изучение этого вопроса с точки зрения теории групп см. в книге Петрова
[903], § 50,- Прим. ред.)
*) Бергман ([38], стр. 206) утверждает, что, основываясь лишь на
соображениях симметрии, можно получить форму, содержащую только две
неизвестные функции. Однако это неверно. Сведение к двум неизвестным
функциям предполагает использование некоторых из уравнений поля в
вакууме.
