Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Это не приводит к существенному упрощению выражения (7,246)
17*
260
Гл. VII. Поля со сферической симметрией
для Q, но проявляется при записи частных производных (7.250):
Q.
1 1 \ ydydw + у ДлЯДхР ^ yap. y (1 - w)dw +
i
4-у(Д0* ^ Y44. V (1 - W)dw, о
1 1
Q4l= At (.1 - J уudw) = - Д/ J (7.253)
0 0
l .1 l
?2уа = Дх^+ДдР ^ YPv^ffi' + уД^Д*3 ^ Yap,ywdw + -^(At)2 J yii>ywdw, о
о о
^4i= ^4j-
Последнее уравнение означает, что производные й по t в точках Рх и Р2
отличаются лишь знаком. Вследствие существования группы движений этот
факт имеет место не только в статическом, но и в стационарном случае, и
мы могли бы использовать его для вывода (7.233) из (7.230). Для поля
Солнца метрику (7.234) можно записать в виде
2т/г3
(x*dx*)3-(l-^dt3, г* = х"ха, (7.254)
1 -(2 т/г)'
так что, опуская члены порядка малости 02, мы имеем
Sij ~ Л"; "Ь Уц i
2 пиРя* г3
Yap = -
2Ш (Л'^ор-Л ар),
(7.255)
n 2т
Ya" = 0, Y" = -
В силу (7.246) мировая функция для поля Солнца записывается как
Рг(ха>) Й (ЯХР2) = 1 [АхаАх* - (ДО2] +
1 а^р 1
+ mAxaAxfi ^ dw + m (At)3 ^ + 02.
о о
(7.256)
Значения входящих сюда интегралов приведены на стр. 263. Первые
производные й задаются формулой (7.253), в которую и следует подставить
выражения (7.255). В процессе вычислений желательно иметь прежде всего
диаграмму (фиг. 78), изображающую трехмерное евклидово пространство, в
котором х(r) представляют собой прямоугольные декартовы координаты. Пожалуй
на этом можно закончить вычисление мировой функции й и ее производных в
слабом, в' частности статическом поле (как еще более частный Случай
последнего, мы рассмотрели поле Солнца). Как только эти произ-
Ф и г. 78; Пространственная схема, ¦поясняющая использование мировой
функции в вычислениях.
§ 9. Спектральные смещения и мировая функция
261
водные найдены, формула (7.230) позволяет вычислить спектральное
смещение. Но здесь возникает одно осложнение. В любой конкретной задаче
точку испускания Рг и точку приема Рг (обозначенные на фиг. 76 через Р' и
Р) нельзя обе выбрать произвольно, поскольку РгР2-изотропная
геодезическая. Начнем с конкретизации Р2, т. е. зададим
координаты хЧ
Изобразим область прошедшего для изотропного конуса с вершиной в
точке Р2, пересекающую мировую линию источника в точке Рг. Ясно, что
независимыми величинами будут
дс'з, Аха, (7.257)
и что Ax*(=At) определяется этими величинами в заданном пространстве -
времени. Переходя к отысканию Дt, заметим, что Й(Р1Р2) = 0, так как РгРг
- изотропная геодезическая и, следовательно, основное дифференциальное
уравнение (2.20) дает
^"*^0^ = 0. (7.258)
Так как из (7.240) с точностью до первого порядка следует, что
gi; = ^iy = %aYab^y. (7.259)
то (7.258) в силу (7.250) можно записать в виде
r\km^HQmi-yk2mAxhAxm = 0. (7.260)
Используя снова~(7.250), мы получаем
^kmAxhAxm = Q, (7.261)
где
1 1
Q = уь2т2АхкАхт - 2AxjAxh ^ yjh dw - AxiAxiAxh ^yih hw[dw. (7.262)
o o
Следовательно,
(At)2 = AxaAxa - Q,
At = (АхаАха)1/г - y Q (AxaAxa)~lh. (7.263)
Здесь последний член мал, и в Q можно подставить
At = (Аха Аха)1/г. (7.264)
Членами порядка малости 02 мы всюду пренебрегаем.
Все это представляется достаточно громоздким, но стремление к
подробному анализу оправдано важностью вопроса о спектральных
смеще-
ниях с точки зрения астрономии. Чтобы придать методу большую ясность,
опишем краткую схему этого метода и затем применим его к случаю малых
скоростей источника и наблюдателя. Основными пунктами являются следующие:
1) зададим поле, т. е. малые функции yi}(x);
2) выберем точку приема Р2 (лЧ);
3) зададим Аха, фиксируя таким образом положение точки испускания (но не
время испускания);
4) вычислим1) из (7.263) At, получая таким образом точку испускания Рг;
1) В этих расчетах интегралы вычисляются на прямой линии (фиг. 78) с
учетом
обоснованного допущения о линейности изменения t в случае нестационарных
полей.
262
Гл. VII. Поля со сферической симметрией
5) Вычислим1) из (7.250) Qhl и Qs2 как функции семи величин
(7.257);
6) зададим два единичных 4-вектора, определяющие 4-скорости Уп, V12
источника и наблюдателя;
7) вычислим спектральные смещения по формуле (7.230).
Допустим, что Vai и У"2 малы (мы пренебрегаем их произведениями2). Тогда
для любого из них
?44(У4)2=- 1. (7-265)
так что
У4 = (1-У44Г1/2=1+4-Т44- (7.266)
Поэтому
QftVk = QeVe+Q4(l+-lY44), (7.267)
и, следовательно, в силу (7.250)
QklVй1 = Q4i + 4 Y4l4lA< - Vе1
(7.268)
QhiVh* = Q4l -1 у4г42Д/ + V"2 Axa,
где первые члены справа конечны, тогда как друг е -бесконечно малы.
Складывая оба выражения (7.268) и учитывая (7.250), получаем
QhlVhl + QkiVk2 = - Vai) Дх" +
l
+ 4-(Y4i4i-Y4242) AZ + yAx1 Ax' J yijtidw, (7.269)
0
Qft'y^Af + O,.
Таким образом, для малого спектрального смещения (положительное
красное смещение) из (7.230) получаем
= (уаг _ уаг} Ag + j {у^ _ у^} +
а д 1 1 1
+ 4 - ^ Усф. 4 dw + Дх" ^ уа4.4 dw + 4 Д/ jj у44> 4 dw, (7.270)
о о о
где At, как и в (7.264), приблизительно равно "расстоянию" между
