Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Общая теория относительности " -> 121

Общая теория относительности - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Общая теория относительности — М.: ИЛ, 1963. — 432 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 115 116 117 118 119 120 < 121 > 122 123 124 125 126 127 .. 211 >> Следующая

движение источника и наблюдателя можно приближенно оценить путем
добавления эффекта Допплера, обусловленного относительным радиальным
движением в плоском пространстве - времени. Однако для последовательного
рассмотрения красного смещения лучше провести все рассуждения сначала, не
пользуясь предположением о стационарности и применяя вместо (7.228)
формулу (7.230). Если бы мировая функция ?2 была известна, то формула
(7.230) задавала бы точное спектральное смещение для любых скоростей
источника и наблюдателя.
Рассмотрим вновь случай, когда поле гравитации можно считать слабым
(пространство - время малой кривизны). Вычислим мировую функцию с
точностью до первого порядка. Мы не будем делать никаких предположений
относительно скоростей источника и наблюдателя. Последнее могло бы
представлять определенный интерес, но не в связи с рассмотрением эффекта
спектрального смещения. Дополнительное ограничение малости скоростей
будет наложено несколько позднее.
Будем пользоваться координатами х1, для которых
fi'y==Tl*j_b Y"i>
T|y = diag(l, 1, 1, - 1), (7.240)
причем у-члены оказываются величинами первого порядка малости (Ог). Для
большей наглядности будем рассматривать х1 как прямоугольные декар-
*) Однако Мак-Витти [732] получил теоретическое значение, более чем в 2
раза превышающее эмпирическое. См. также работы Финлай-Френдлиха [329-
330]. [См. также С. И. Вавилов, Экспериментальные основания общей теории
относительности, ГИЗ, 1928.- Прим. ред.]
17 Дж. Л. Синг
258
Гл. VII. Поля со сферической симметрией
товы координаты в евклидовом четырехмерном пространстве (фиг. 77), так
что следует делать различие между геодезической, определяемой уравнениями
(Гх1
dw2 1'k dw dw
ri dxi dxk n
1 ih -УГГ ~jrr = U,
(7.241)
и прямой линией, задаваемой линеиными уравнениями.
Пусть Р1 и Р2 - две точки, соединенные геодезической Г (может быть,
изотропной) и прямой линией С. Для Г мы имеем уравнения (7.241), где
до - канонический параметр, принимающий ,рг значения от 0 в точке Рг до 1
в точке Р2. Урав-f(w=i) нения для С имеют вид
х' = (1 - ДО) X'l + ДО*Ч
(7.242)
Р, (ги=0)
Фиг. 77. Геодезическая Г и примыкающая к ней пря-' мая линия С.
где до снова меняется в интервале от 0 до 1, а х')- и х'2 - координаты
точек Рх и Р2 соответственно. Установим соответствие между точками на Г и
С, связывая каждую пару точек с одним и тем же значением до.
В силу слабой искривленности пространства, Г лежит близко от С и
фактически С можно рассматривать как вариацию Г. Из определения
геодезической (гл. I, § 2) следует, что
(7.243)
Г dx1 dx> , С dx' dx) , , "
г с
Тогда в силу (2.1) мировая функция определяется формулами
г> / d d \ * С йх1 dx> , 1 С dx) dx) , , п
G (РгР,) = 2)84-foWdWss2\ &} ~dw Hw ^w + °2 = r с
= у Ax'Ах' ^ g{j dw + 02, (7.244)
с
Ах{ = хъ - х'). (7.245)
По сути дела, мы имеем
Q ipiPi) = y ти,-Л*4Ах' + у Ах'Ах' ^ Yij dw + 02, (7.246)
с
где первый член - мировая функция для плоского пространства - времени, а
второй имеет порядок малости Ох.
Мы предполагаем, что - заданные функции х1. При вычислении интеграла
(7.246) нужно подставить х' из (7.242), так что
у ij(x) = fii{P1,Pt,w), (7.246)
и мировая функция приобретает вид (погрешностью второго порядка
малости мы пренебрегаем)
1
G (Рц Р,) = \ ъАх'Ах1 + у Ах'Ах' $ fl} (Plf Pt, w) dw. (7.247)
Все, что мы должны сделать,- это вычислить интеграл вдоль прямой С.
§ 9. Спектральные смещения и мировая функция
259
Для вычисления спектрального смещения нужна не сама мировая функция,
а ее частные производные. Переходя к дифференцированию
(7.247), заметим, что
(ДДй=-в." (ДЛй=а". (7-248)
и в силу (7.242) и (7.246) для фиксированного значения w
h, ft! = (1 - w) yw> k, fa, ft, = wyiit h. (7.249)
Следовательно,
l i
Hhi = - T|ih A*' - Ax' \ Y,h day + 4 Ax1 Ax' ? Yi3- h (1 - w) dw>
о о ' (7.250)
l l
Qft2 = t]jhAx'" + Ax' jj Yjft \ Ax*Ax' jj Yi,, ь(r) day. о о
Хотя ковариантные производные Q второго порядка для вычисления
спектральных смещений не нужны, мы могли бы их вычислить аналогичным
образом (следуя обозначениям гл. II, мы будем отмечать их индексом без
черточек). Имеем
й/цт, = mi - ГftJrHjHa!,
^ftim, = Hmjft! = Qftj, п>2 = Пт21 ftj, (7.251)
Пь2т2 = Hft2j тп2 Г ft2m2^a2"
где вторичный (численный) индекс при Г означает, что соответствующая
величина вычисляется в точках Рг или Р2, и, следовательно,
1 1
fiftmu = Tlftm+ 5 Yftm dw - Дх' J (yjk, m + yjm, ft) (1 -w)dw + о 0
1
+ Y Ax*Ax' jj Yi,-, ftm (1 - (r))2dw + rftm^Ax*,
0
11
Oft1m1=fim2ft1= -tUm- 5 Ykm^-Aj^ J Yik.m(r)rf(r)+ (7.252)
0 0 1
+ Ax'' ^ Y,m, ft (1 - w) dw -f у Ax* Ax' J y". ftm(r) (1 - W) dw,
1 0 1 1
&ft2m2 = 4ftm + 5 yhmdw +bx* jj (Y*k,m+Yjm.k) +
0 0
1
+ ~ Ax* Ax' 5 Yil, hmw2dw - rh2m2T)aJ Axj.
0
В этих формулах погрешность порядка 02. Можно сравнить (7.252) с формулой
(2.95), при выводе которой мы исходили из того же приближения (малая
кривизна), но в которой координатная система была общего вида.
Для слабого статического поля учлены не зависят от х* (или t), и уа4 = о.
Предыдущая << 1 .. 115 116 117 118 119 120 < 121 > 122 123 124 125 126 127 .. 211 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed