Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
перигелии. В силу (7.197)
/ (и) > 0 на всей орбите, а вследствие (7.198) f (и) положительна для
больших положительных значений и. Оказывается, что все три нуля функции /
(и) вещественны и ы2 и и3 положительны, причем "2 соответствует
перигелию. График f(u) принадлежит к одному из двух типов, показанных на
фиг. 75 (фиг. 75а - для случая иг > 0 и фиг. 756 - для случая щ < 0). В
первом случае мы получаем орбиту эллиптического типа, когда и колеблется
в интервале щ < и < иг (иг соответствует афелию).
Во втором случае получаетсй орбита гиперболического типа. Разумеется,
существуют и другие частные случаи: при и1 = 0 мы получаем орбиту
параболического типа, а если ы1 = ы2, то получается круговая орбита.
Общее решение (7.197) в эллиптических функциях Якоби получается с помощью
подстановки
x-irVV2-"(".-".). Р'202"
В этом случае (7.197) принимает вид
(7-203)
и общее решение этого уравнения имеет вид
у = sn(x + 6), (7.204)
где б - произвольная постоянная. Таким образом, все геодезические орбиты,
имеющие перигелий, удовлетворяют условию
и - и1 = (иг - и^5пг(^чУ2т{ив - и1)-\-Ъ^, (7.205)
где и = IIг, а модуль эллиптической функции, согласно (7.202), равен k.
Сравним этот результат с законом планетарных орбит в ньютоновской
астрономии. Приступая к численным.оценкам, мы отождествим г с расстоянием
от центра Солнца в ньютоновской модели. Таким образом, беря для массы
Солнца значение, приведенное в (4.137), а для его радиуса величину 6,953-
1010 см = 2,319 сек, мы находим, что на поверхности Солнца
ти = -^- = 2,122- 10 е, (7.206)
т. е. оказывается очень малой безразмерной величиной. Для более удален-
Ф и г. 75. Графики f (и) для орбиты эллиптического типа (а): для орбиты
гиперболического типа (б).
252
Гл. VII. Поля со сферической симметрией
ных точек величина ти еще меньше (в частности, для перигелия и афелия),
так что (7.199) приблизительно дает
Таким образом, отношения uju3 и и2/и3 оказываются малыми величинами, и,
следовательно, в силу (7.202) приближенно k = 0. Но когда модуль
стремится к нулю, эллиптическая функция sn вырождается в обычный синус,
так что уравнение орбиты принимает вид
Это - фокальное выражение эксцентриситета е = (и2 - щ)/^ + ui) и,
следовательно, оно задает эллипс или гиперболу, в зависимости от знака
неравенства: их > 0 или ", < 0. Таким образом, на основе гипотез о
геодезических и приемлемых приближений мы получаем с высокой степенью
точности важнейший астрономический факт - эллиптический характер
планетарных орбит. Из (7.194) вытекает закон площадей.
Чтобы исследовать существующее небольшое различие между релятивистской
орбитой и ньютоновским эллипсом, обратимся к точному уравнению (7.205)
для релятивистской орбиты. Эллиптическая функция sn имеет период 4/С, а
ее квадрат (sn2) - период 2/С, где
Следовательно, приращение ф при смещении перигелия в точности равно
Как мы убедились выше, величина k мала. Пренебрегая kl, получаем из
(7.209)
и, так как отношения и1/и3 и и2/и3 малы, то (7.202) приближенно дает
Поскольку эта величина несущественно превышает 2л, орбита должна
рассматриваться как эллипс, слабо вращающийся в описанном выше смысле.
Смещение перигелия за один период вращения планеты вокруг Солнца равно
2 ти3 = 1.
(7.207)
(7.208)
(7.209)
(7.210)
0
В силу (7.199)
2т (и3 - и1)=1 - 2т (2иг + и2)
(7.212)
(7.213)
Таким образом, в силу (7.211)
(7.214)
и (7.210) принимает вид
Дф = 2л [ 1 + у т (и2 - щ) ] [1 + т(2и1 + и2)] =
= 2л [ 1 + ^т(щ + "г)] . (7.215)
е - Дф -2л = Зят (ux + "2) = Зят (^7_ + 7_3 ' (7.216)
§ 8 Орбиты и лучи в поле Солнца
253
где гу и г2 соответствуют двум противоположным точкам (афелию и
перигелию). Так как е -очень малая величина, то допустима замена ее
соответствующей величиной из классической механики. Таким образом, если
а -большая полуось орбиты,
е - эксцентриситет орбиты,
Т - период (планетарный год),
то мы имеем
rt = a( 1+е), г2 = а(1- е), т = -^г- , и (7.216) принимает вид
24 я3 а2
е- -е2) '
Здесь, как и на протяжении всей книги, а н Т измеряются в одинаковых
единицах; в противном случае мы должны были бы представлять вместо Т
величину сТ, где с - скорость света.
Формула Эйнштейна (7.218) (Эйнштейн [257]) для смещения перигелия за один
период вращения представляет собой одну из наиболее известных формул
общей теории относительности1). Как отмечалось ранее, в задачу данной
книги не входит обсуждение вопроса о согласии этой формулы с
астрономическими наблюдениями. Значительная трудность состоит в том, что
в солнечной системе не одна, а много планет, и их взаимное притяжение
существенно. Наиболее подходящей для наблюдения оказывается планета
Меркурий2), поскольку для нее формула (7.218) дает смещение 43"03 -j-
0,03 за земной век (Клименс [162], Мак-Витти [732J3)). И ньютоновская
теория возмущений, и наблюдения дают для смещения величину более, чем в
100 раз превышающую данную. Если же к расчетной величине прибавить
релятивистское смещение, то получается хорошее согласие с наблюдениями4).
