Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
ностью определенной проблемы.
Рассмотрим сначала внутреннюю облает^ (г < а). Вследствие первого
уравнения (7.159)
е_в=1 - qr2, q = -i- хр0 = яр0. (7.168)
Согласно (7.166),
Г
<re1/*" = <r04--i-x ^ ге3а/2 dr. (7.169)
о
Последний интеграл легко вычислить, так как, согласно (7.168),
e~ada - 2qrdr (7.170)
и, следовательно,
а - (р + Ро)'1 = о^-1^ -j - у uq'1 (1 - е-1/*(r)). (7.171)
Постоянную ст0 вычисляют с помощью перехода к предельному случаю при
приближении к поверхности сферы, где г = а, р = 0. Подставляя это
значение оа в (7.171), получаем
3 1 f 1-Qr2 \1/г и i 7q\
<Vo=2-2 (7Л72)
и, следовательно, давление внутри сферы определяется формулой
Р = . (7.173)
3(1 -qa2) - (1 -qr2) ^
§ 7. Поле жидкости и полное поле Шварцшильда
247
Внутреннее решение будет найдено полностью, если мы определим у из
(7.164), что дает
V 3^1 - </а2- 1 / ' '
и метрическая форма внутри сферы приобретает вид
Ф = + г2 ^2 - dt\ <7 = 1 хр0. (7.175)
Напомним, что t - собственное время и убедимся, что, как и должно быть, у
= 0 при г = 0.
Согласно общему определению массы в случае ограниченного, сферически
симметричного распределения материи [см. (7.143)], масса жидкой
сферы определяется формулой
а
т = 1 х ^ цг2 dr = 1 хр0а3 = 1 яр0а3. (7.176)
0
Таким образом, переходя во внешнюю область (г > а), из (7.159) получаем
e-a=\_^t у - -a + lnC, (7.177)
где С - постоянная. В силу непрерывности при г = а
С = (ev+")r=a, (7.178)
куда нужно подставить внутренние значения (7.168) и (7.174), и, таким
образом,
С = 4(3 YT^qa?- l)'2. (7.179)
Таким образом, метрическая форма вне сферы имеет вид
Ф = ___U Г2 fa 2_______Т_ _Г У__
1-- (3 У1-<?a2-l)2 ' (7.180)
<7 = -^>Фо-
Мы видим, что эта формула сшивается с (7.175), если учесть, что
^ = lxp0a2 = <7a*. (7.181)
Использование координат, достаточно просто определенных (как физически,
так и геометрически), всегда дает большое преимущество, поэтому в
качестве собственного времени в центре сферы постоянно использовалось t.
Однако формулы для жидкой сферы несколько упрощаются, если произвести
замену временной координаты, согласно следующей формуле:
r = 2*(3l/l-<7a2-l)~\ (7.182)
Теперь с помощью (7.175) и (7.180) получим полное поле
Шварцшильда
[1078- 1079] для жидкой сферы с постоянной плотностью1):
0 Чтобы преобразовать внешнюю форму к гауссовым полярным координатам,
положим dg - dr{ 1 - 2m/r)-'^2. Внешняя метрическая форма в изотропных
координатах задается формулой (8.179).
248
Гл. VII. Поля со сЪерической симметрией
для внутренней области (г < а),
ф4 = Г+ г2 do* - (4 ]Л - qa2 -1 dn\ (7.183)
для внешней области (г > а),
dt'2.
Г
Ясно, что V фактически представляет собой собственное время частицы,
фиксированной при г= оо.
Основные концепции общей теории относительности Эйнштейна столь
существенно отличаются от ньютоновских, что достаточно хорошее согласие
физических предсказаний этих двух теорий могло бы показаться
удивительным1). Однако согласие действительно существует, по крайней
мере, в условиях, встречающихся в природе, так как здесь приходится иметь
дело лишь со слабыми гравитационными полями и малыми относительными
скоростями (понятия "слабый" и "малые" используются, разумеется, в
математическом смысле). Хотя об этом согласии уже упоминалось выше, оно
еще раз будет продемонстрировано в нижеследующих рассуждениях. Это
согласие представляет собой большой триумф работы по построению теории
гравитации, не опирающейся на нетерпимое понятие абсолютного времени и в
то же время согласующейся в области астрономических предсказаний с
наблюдениями так же успешно, как ньютоновская теория.
Однако предсказания этих двух теорий совпадают не полностью. Небольшие
расхождения их предсказаний привлекали большое внимание и выражались
сомнения относительно того, действительно ли наблюдения полностью
подтверждают предсказания теории Эйнштейна.
Обоснованность суждения об этом вопросе требует более глубокого знания
техники наблюдений, а какие-либо догматические утверждения были бы чужды
духу этой книги2). Но одно обстоятельство следует считать ясным. Спор
ведется не между Ньютоном и Эйнштейном. Концепция абсолютного времени в
свете успехов специальной теории относительности не сохранила в физике
никакой опоры и, если эйнштейновская теория гравитации в самом деле
недостаточна, то нужна модификация этой теории, а не возвращение к
ньютоновской. Но если потребность в каких-либо изменениях и появится, то
первое, что при этом потребуется; это ясное и критическое понимание того,
что представляют собой точно эти предсказания общей теории
относительности.
Мы говорим здесь о поле Солнца, хотя наши математические расчеты
применимы к любому сферически симметричному полю в вакууме. Возь-
*) В этой книге мы имеем дело только с теорией Эйнштейна; однако
необходимо обращаться и к ньютоновской теории, поскольку астрономы
облекают результаты своих измерений в ньютоновскую терминологию. Мы не
затрагиваем здесь вопроса о некоторых других теориях гравитации,
