Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Общая теория относительности " -> 115

Общая теория относительности - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Общая теория относительности — М.: ИЛ, 1963. — 432 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 211 >> Следующая

(7.145)
г
получаем
(7.146)
о
^ NdS = 4ят,
(7.147)
244
Гл. VII. Поля со сферической симметрией
компоненту1) вектора первой кривизны. Поскольку система координат
геометрически вполне определена, нет никаких возражений против
использования компоненты вектора, так как эта компонента фактически
инвариантна.
Вектор первой кривизны для любой кривой определяется формулой
,t d2** . j-,1 dx> dxh
b ~in*+T>h 'dT'dF • (7.148)
я для 1-линии мы имеем
61 = r"(ir)2 = e"Vr"- (7-149)
или в силу (7.75)
bl = j4 ie~" (7.150)
В точке вне звезды (7.135) дает
г а Х<<)
Y =^-^-dr + x ^ r^T\dr, (7.151)
о о
са-I п I/* 2т
Yi =-- . е_ Yi = ~ (1 - е )=7Г
и, таким образом, напряженность гравитационного поля определяется
формулой
Ь1=%. (7.152)
Заметим, что здесь справедлив закон обратного квадрата.
Проинтегрируем теперь эту нап ряженность по двумерной сфере, для которой
г = const, t = const. Элемент площади имеет вид
dS = r2sin20d0d(p, (7.153)
и это дает формулу
j61dS = 4jim, (7.154)
которая при сравнении с (7.147) оказывается теоремой Гаусса.
§ 7. Поле жидкости, обладающей сферической симметрией, и полное поле
Шварцшильда
В предыдущих рассуждениях мы рассматривали Т\ и Т] как исходные функции,
заданные произвольно, с точностью до условия, сформулированного вслед за
формулой (7.138). Но это физически вряд ли реально, так как материя имеет
некоторую структуру (твердое тело или жидкость). Найдем теперь поле
сферически симметрично распределенной идеальной жидкости и, в частности,
поле сферы, заполненной идеальной жидкостью. Положим Л = 0 и будем
рассматривать только статический случай.
Согласно (4.84), тензор энергии для идеальной жидкости имеет вид Tij =
(\i + p)ViVi + pgij, (7.155)
*) Это r-компонента вектора 6*.' Напомним, что инвариантное определение г
дано в § 2. -
g 7. Поле жидкости и полное поле Шварцшильда
24а
где р - плотность, р - давление, а V1 - 4-скорость, удовлетворяющая
условию
(7.156)
Для статического случая мы выберем ориентацию вектора^V1 в /-направлении,
так что с учетом метрики (7.117)
У" = 0, Va = 0,
Vl = e-1/i у, У4 = - е1/&.
Таким образом,
Т\ = Т\ = Т% = р,
т\ = т\ = о, П=I*,
где р. и р зависят только от г.
Уравнения поля эквивалентны (7.135) с учетом (7.131). Вместо второго
уравнения (7.135) удобно использовать (7.129). Таким образом, поскольку
первое уравнение (7.131) удовлетворяется тождественно, необходимо
удовлетворить только следующим трем уравнениям:
Г
е~а = 1 - у ^ г2 р dr,
о
ai + Yi = хге"(р +р), (7.159)
Pi + YYi(P + H) = 0-
Напомним, что индекс 1 означает d/dr.
Плотность р может иметь разрывы, однако а, у и р непрерывны, причем
непрерывность р обеспечивается условиями соединения (7.90). Если жидкость
заполняет сферу радиусом г -а, вне которой только вакуум, то
р = 0, р-Q для r>a, (7.160)
и по мере приближения к поверхности г = а с внутренней стороны р-" 0.
Поскольку мы имеем три уравнения (7.159) для четырех величин а, у, р и р,
то ясно, что в данном случае задача недоопределена. В задачах, связанных
с изучением жидкости, определенности иногда можно добиться посредством
наложения связи между плотностью и давлением. Однако мы здесь по этому
пути не пойдем. Вместо этого будем считать функцию р (г) заданной.
Разумеется, это лишь психологическая увертка, не противоречащая
уравнениям (7.159).
Мы будем предполагать вначале, что функция р(г) является глад: кой, а
случай резкой границы рассмотрим позднее.
Если функция р (г) задана, то первое уравнение (7.159) определяет а (г).
Исключая у из двух других уравнений, получаем следующее диф<
ференциальное уравнение для (р + р):
(P + p)i + y(P + p) [*геа (р+1*) - Oil - Pi -.0. (7.161)
Если определить о с помощью выражения
о~1 = р + р, (7.162)
то это уравнение примет вид
+ р^2 -fy а4а - у хге° = 0. (7.163)
Нет никакой необходимости искать точное решение. Для нашей цели
достаточно заметить, что если величина р при некотором значении г
(7.157)
(7.158)
246
Гл. VII. Поля со сферической симметрией
задана, то это уравнение определяет функцию а (г) и, следовательно, р
(г). Тогда, согласно второму уравнению (7.159), у определяется как
Г
у= - а + х ^ reaa'1dr. (7.164)
о
Таким образом, проблема дли случая сферически симметричной жидкости
решена по крайней мере принципиально, если считать функцию р (г)
произвольно заданной.
Уравнение (7.163) можно записать в виде
((Jg1/га)1 = -1 шеЗа/2 _ (7.165)
и, следовательно,
Г Г
стех/2" = 0о X х ^ геза/2 dr _ ^ рхст2 ех/2" dr. (7.166)
о о
где (Т0 есть значение <т при г - 0. Эта формула не дает, конечно, решения
уравнения (7.163), так как последний интеграл здесь содержит неизвестную
ст. Однако (7.166) может оказаться полезной при выполнении процесса
итераций.
Перейдем теперь к случаю однородной жидкой сферы, полагая
*1 = р0 ПРИ г<а,
р = 0 при г > а. (7.167)
Здесь р0 - постоянная плотность шара. Полагая, как и в
(7.160), р = 0
при г> а, мы придем, как это будет видно позднее, к постановке
пол-
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 211 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed