Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
производных. Условия связности фактически имеют тот же вид, что и в
(1.229):
Gtf,i + Gtff4=[C], ОУл + Оу.^С], (7.89)
где [С] означает непрерывность. В частном случае, когда гиперповерхность
разрыва определяется уравнением г = const, эти условия сводятся к
следующим:
G\ = [C\, GJ = [C]. (7.90)
§ 4. Внешнее поле Шварцшильда
Рассмотрим звезду или какой-нибудь другой объект, распределение материи в
котором обладает сферически симметрично. Не будем пока интересоваться
внутренней областью рассматриваемого объекта и рассмотрим лишь
область г > а (будут использованы координаты кривизн)*
материя в которой отсутствует. В этой области Tij = 0 и,
следовательно,
уравнения поля имеют вид
G) - Лб] = 0 (7.91)
(космологическая константа введена здесь из соображений общности). Однако
ввиду сферической симметрии необходимо рассматривать лишь уравнения
с; = л,
GJ = Л, (7.92)
G\ = 0.
Другие уравнения
G\ = Л,
G\ = A <7-93>
будут тогда удовлетворяться в силу тождества (7.87).
Подставляя (7.81) в (7.92), приходим к трем следующим уравнениям:
е-а(1 -bryj = 1 - А г2,
е-а(1 - га,) = 1 - Аг2, (7.94)
а4 = 0.
Из последней формулы в (7.94) следует, что
а = а (г). (7.95)
Тогда из второй формулы получаем
е~*=\--г-^Лг2, (7.96)
где А - произвольная постоянная. [Формула (7.82) здесь не
справедлива,
так как рассматриваемая область г > и не содержит оси симметрии
г = 0.] Вычитая из первого уравнения (7.94) второе, получаем
+ (7.97)
§ 4. Внешнее поле Шварцшильда
237
и, следовательно,
Y =-a + F(t), (7.98)
где F - произвольная функция. Следовательно, метрика для области г > а
имеет вид
Ф= .dr\ + г2 da* - ( r^eWdt*. (7.99)
1---4-Лг* v d J
r 3
Если произвести замену /-*•/', где
/'= Jexp[|F(/)]d/, (7.100)
то
Ф = j--:--------+rW-f 1- - -4- ЛгО dt'\ (7.101)
1---4-Лг* v '
r 3
Поле, соответствующее (7.101), можно назвать внешним полем Шварцшильда
(Шварцшильд [1078]), хотя это понятие по существу используется лишь в
случае А = 0. \
Пространство -время называют стационарным, если существуют такие
координаты, что
Стационарное пространство - время допускает группу (см. гл. VI, §2). Если
в дополнение к (7.102)
?сс4 = °>
так что метрическая форма записывается в виде
ф = dxa dx? + Sn (dx4)2,
то говорят, что пространство - время является статическим.
Ясно, что пространство - время с метрической формой (7.101) -
статическое. В действительности, люоог сферически симметричное поле в
вакууме является статическим. Этот замечательный результат часто называют
"теоремой Биркгоффа" (Джебсен [512], Александров [3], Бирк-гофф [53]).
Сделаем несколько критических замечаний относительно формулы (7.101). Во-
первых, в § 2 координате / был приписан вполне определенный смысл
собственного времени на оси г = 0. При переходе с помощью (7.100) к f
этот смысл был утрачен. Однако если отбросить несколько затрудняющую
рассмотрение константу А (см. ниже), так что формула (7.101) примет вид
Ф = -^г + гас*а2-(1 -A (7.105)
Г
и устремить г к бесконечности, то, как легко видеть, dt' станет элементом
собственного времени для частицы, фиксированной в том смысле, что г, 0 и
<р будут оставаться неизменными.
Во-вторых, чтобы сигнатура Ф в (7.101) оставалась правильной, должно
выполняться неравенство
l--f-yAr2>0. (7.106)
Если допустить (как это обычно делается), что константа А положительна,
то для достаточно больших значений г это неравенство будет, очевидно,
(7.102) движений
(7.103)
(7.104)
238
Гл. VII. Поля со сферической симметрией
нарушаться. Однако эта неувязка отступает на второй план перед лицом
другой опасности. Как будет показано далее, г достигает максимума по мере
удаления от начала координат вдоль геодезической NE (см. фиг. 72), а
затем снова начинает убывать. Это означает, что за этим максимумом
координаты кривизн использовать нельзя, так как взаимно однозначное
соответствие между точками и четверкой координат г, 0, q> и t
отсутствует.
Для изучения поведения г будем использовать гауссовы координаты,, для
которых метрическая форма имеет вид1)
Ф = dQ2 + г2 da2 - ev dx2. (7.107)
Чтобы установить соответствие с обозначениями § 3, положим
Q = х1, х = х4, г2 - еВ (7.108)
и учтем то обстоятельство, что теперь г является функцией х1 и х*.
Из всех уравнений поля в вакууме мы будем использовать лишь сле-
дующие:
С44 = Л, GJ = 0. (7.109)
Так как мы пользуемся полярными гауссовыми координатами, то в формуле
(7.78) следует положить а = 0. Тогда уравнения поля (7.109) примут Вид
-Pu-4PHe-P + |e-vp* = A,
Р14 ~2 Р1Р4 ~2 P4Y1 - 0.
Р = 21пг, Рх = -^-. Р4 = ^.
О _2 гп 2г\ " _2г,4 2 г,г4 (7-111>
Р11 г • Pl4 - "
(7.110)
Здесь
(7.112)-
и, следовательно, (7.110) принимает вид
l-2rru-r;-}-e-vr; = Ar*,
2ri4-^"Yi = 0.
Второе из этих уравнений дает
rte-V*Y ,= ?(*"), (7.113)
где функция В произвольна. (Тогда из первого уравнения (7.112) следует,
что
l-2/ru-rJ + .B2 = Ar2, (7.114)
а это можно переписать в виде
К)1 = (1-Аг2 + В2)г1 (7.115)
и, следовательно,