Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
231
Рассмотрим двумерное пространство, для которого q и т имеют фиксированное
значение, а 0 и ср служат текущими координатами. В силу предположения о
сферической симметрии все точки этого двумерного пространства
эквивалентны. Следовательно, это двумерное постоянную собственную
кривизну, равную, скажем,
1/Л где г - функция q и т.
Наше двумерное пространство фактически ничем не отличается от обычной
сферы радиуса г: его инвариантная площадь равна 4лг2 (возможно, это
лучший способ запомнить, что такое г) и метрика, заданная на этом
пространстве, имеет вид
ds2 = r2do2. (7.64)
Из сравнения этого выражения с формулой (7.59) получаем
r2 = Q2f. (7.65)
На линии С, очевидно, г = 0.
Рассмотрим теперь другой тип двумерного пространства, когда 0 и ф
фиксированы, a q и т представляют собой текущие координаты. Проведем в
этом пространстве кривые г = const (фиг. 72) и ортогональные к ним
траектории, такие, как ЕМ. В этом случае любая точка Е определяет точку М
на С, и если положить ОМ = t, то г и t будут представлять собой систему
ортогональных координат в рассматриваемом двумерном пространстве. Таким
образом, в этих координатах кривизн получаем
Ф = А (г, /) dr2 + rW - В (г, () dl2, (7.66)
где
Л(0, 0 = 1, 5(0, /)= 1. (7.67)
Мы используем термин координаты кривизн, учитывая способ определения г.
Но несмотря на то, что эти координаты упрощают уравнения поля (как это
будет показано ниже), они не лишены некоторых недостатков. Гауссовые
координаты (q, 6, ф, т) являются допустимыми, однако в процессе
построения траекторий, ортогональных к линиям г - const, степень
гладкости была понижена и нужно быть готовым обнаружить разрывы первых
производных Л и Б, хотя сами эти функции непрерывны. Этот вопрос о
гладкости, часто бывавший причиной недоразумений, подробно рассмотрел
Израель [494]. Мы здесь не будем на нем останавливаться (см., однако,
стр. 235-236).
Рассмотрим теперь четвертую систему координат, а именно изотропные
координаты. Выбирая 0 и ф таким же способом, как и раньше, определим
координаты х1 и х* точки Е (фиг. 73), строя в точке Е полный изотропный
конус, пересекающий С, допустим, в точках Р и Q. Положим ОР = л:1 и OQ =
х*. Тогда (х1, 0, ф, х4) представляют собой изотропные координаты точки
Е, а метрическая форма (как это легко видеть из изотропного характера РЕ
и EQ) имеет вид
Ф = - 2F (х\ х4) dx1 dx4 + Н (х1, х4) do2. (7.68)
Здесь F и Н - произвольные функции1), причем Н играет роль Л
строение для изотропных координат.
пространство имеет
Фиг. 72. Построение для координат кривизн (г, t).
1) Относительно условий на оси С см. работу Синга [ 11781-
232
Гл. VII. Поля со сферической симметрией
Полученные нами формулы (7.59), (7.63), (7.66) и (7.68) представляют
собой четыре различных (но, разумеется, эквивалентных) способа записи
метрической формы для пространства - времени со сферической симметрией. В
каждом случае мы имеем две неизвестные функции двух независимых
переменных. Таким образом, наложение сферической симметрии приводит к
сильному упрощению: в случае поля общего вида (для гауссовых координат)
получается шесть неизвестных функций четырех независимых переменных.
Именно благодаря этому упрощению удается получить в случае сферической
симметрии некоторые результаты.
Существуют, конечно, и другие способы записи метрической формы для
пространств со сферической симметрией. Есть, например, изотермические
координаты, для которых
Ф = С (х1, х4) [(dx1)2 - (dx4)2] + Н (х1, х4) do2 (7.69)
и однородные координаты1), для которых
Ф = М (хРхР, х4) dx"dxa - N (хЗхР, х4) (dx4)2. (7.69а)
Но как бы ни были выбраны координаты, всегда необходимо иметь в виду их
геометрический смысл.
§ 3. Различные формулы для случая сферической симметрии
Сферическая симметрия в силу своей сравнительной простоты представляет
настолько большой интерес, а физические проблемы, связанные со свойствами
такого вида симметрии, еще настолько далеко не исчерпаны, что весьма
целесообразно провести достаточно подробный вывод ряда формул. Если
исходить при вычислениях из метрической формы2)
Ф = ea (dx1)2-}-.^ f(dx2)2 + sin2x2 (dx3)2] - ev (dx4)2, (7.70)
где a, P и у - три функции переменных (x1, x4), то можйо конкретизировать
наши результаты, накладывая следующие особые требования: полярные
гауссовы координаты: а = 0;
координаты кривизн: р = 21ПХ1 (х1 = г);
изотермические координаты: a = Y'> (7.71)
однородные координаты: а = р.
Этот перечень не содержит ни координат Ферми, ни изотропных координат.
Стремясь избежать рутины утомительных вычислений, связанных с переходом
от одной системы координат к другой, лучше работать с координатами Ферми
и изотропными координатами отдельно.
Работая с метрической формой (7.70), мы будем пользоваться следующими
обозначениями:
sinx2 = s, cosx2 = c. (7.72)
Частные производные функций a, Р и у по х1 и х4 будем обозначать индексом
без запятой, например,
".-?¦ Y,.-sSr.. (7ЛЗ>
') По этому вопросу см. книгу Петрова [903], § 7, 30, 49 - Прим. ред.
