Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
поясненном выше смысле. "Геодезические" измерения, выполняемые в
пространстве - времени, относятся, разумеется, к римановой метрике.
В плоском пространстве - времени Минковского (случай специальной теории
относительности) эквивалентны: все точки, все единичные временноподобные
векторы, направленные в будущее, все единичные пространственноподобные
векторы, все направленные в будущее изотропные векторы. Ни одцн из только
что упомянутых элементов не является идентифицируемым. Аналогичные
утверждения справедливы и для пространства де Ситтера, рассмотренного в
предыдущем параграфе. В сущности го зоря, плоское пространство - время
Минковского и пространство де Ситтера симметричны в такой мере, в какой
это вообще возможно для пространства -времени; разница между прошедшим и
будущим, а также между временноподобным, изотропным и
пространственноподобным всегда остается. Строя простую модель при
изучении гравитационного поля Солнца или пульсирующей звезды в
ньютоновской физике, мы приписываем этим рбъектам сферическую симметрию
вполне определенного смысла. Теперь наша задача будет состоять в том,
чтобы перенести понятие сферической симметрии в общую теорию
относительности с целью исследования гравитационного поля Солнца или
пульсирующей звезды, причем первое представляет собой частный случай
второго.
Определение сферической симметрии совершенно просто. Предположим, что
мировая линия С некоторой частицы, принадлежащей звезде, является осью
симметрии в том смысле, что в каждой точке на линии С все единичные
векторы, ортогональные к ней, эквивалентны. Мы, однако, пока не
предполагаем эквивалентности всех точек на С.
Очевидно, что С должна быть геодезической, так как в противном случае ее
первая нормаль представляла бы собой идентифицируемый вектор,
ортогональный С.
Наша задача теперь заключается в том, чтобы вычислить в случае
сферической симметрии метрический тензор gif. Но эта задача приобретает
смысл лишь после того, как мы конкретизируем координаты, которые решено
использовать.
Существует множество различных координатных систем, каждая из которых
обладает своими достоинствами. Начнем с координат, которые мы будем
называть полярными гауссовыми координатами. Они определяются следующим
образом. На фиг. 72 мььвидим центральную геодезическую С, на которой
выбрана некоторая точка О. Пусть Х1(а) - ортонормированный 3-репер,
ортогональный С в точке О и затем перенесенный параллельно вдоль С. Пусть
Е - произвольная точка, a EN - геодезическая, проведенная через
Фиг. 71. Построение для полярных и гауссовых координат.
230
Гл. VII. Поля со сферической симметрией
Е так, что она пересекает линию С по нормали к последней. Касательная к
NE в точке N лежит в трехмерном элементе, определяющемся Я(а), и ее
направление можно задать через обычные полярные углы (0 и <р). Обозначим
NE = q и ON = т. Тогда q, 0, <р, т и есть искомые полярные гауссовы
координаты. Они отличаются от гауссовых координат, рассмотренных в гл. I,
§ 8, лишь тем, что базируются на геодезической С, а не на трехмерном
пространстве. Однако это различие до некоторой степени тривиально, ибо
как те, так и другие обладают важным свойством гауссовых координат- они
являются допустимыми (везде, кроме линии С). Метрическая форма
пространства - времени имеет вид
Q = dQ2 + Q1I (7.57)
где О, - квадратичная форма относительно dQ, dq>, dx. В силу принятого
нами допущения об эквивалентности всех единичных векторов, ортогональных
С, Ф не должна меняться при преобразовании Л(а). Преобразование этого 3-
репера есть не что иное, как вращение осей в трехмерном евклидовом
пространстве. Единственная дифференциальная форма по dQ и d<р,
инвариантная относительно таких вращений, имеет вид
da2 = dQ2 + sin 20d<p2. (7.58)
Поэтому в качестве общего выражения для метрики пространства -времени со
сферической симметрией при записи в полярных гауссовых координатах мы
имеем
Ф = dQ2 4- q2f (q, т) da2 - h (q, t) dx2, (7.59)
где / и А имеют непрерывные первые производные. Множитель д2 при da8
выделен лишь из соображений формального удобства. С учетом элементарной
евклидовости пространства - времени (отношение периметра малой окружности
к ее радиусу равно 2л) и определения т, мы имеем на С
f(0, т)=1, Л(0,т)=1. (7.60)
Можно перейти от полярных гауссовых координат к координатам
Ферми (см. гл. II, § 10; здесь эти координаты обозначены через х1),
полагая
x1 = gsin0cos9, x2 = gsin0sin<p,
X3 = g COS 0, X4 = T. (7.61)
Тогда (учитывая, что греческие индексы принимают значения 1, 2, 3)
получим
хаха = о2, ха dxa = о do,
(7.62)
dx" dxa = dq2 + q2 da2,
и формула (7.59) даст
Ф = gijdxidxi, gap = ffiap+Q'2(l - f)xaxt, (7.63)
ga4 = 0, g44= - A,
где f и h - функции q и x4.
По какой-то странной причине ни одна и§ рассмотренных выше координатных
систем не приводит к максимальному упрощению уравнений поля. Поэтому
построим третью систему координат, которые назовем координатами кривизн.
§ 2. Метрические формы в случае сферической симметрии
