Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
тензор Римана!) родилась в основном в дискуссиях с ним и была в
дальнейшем развита в дискуссиях с д-ром К. Мастом. Замечания Пирани,
сделанные по поводу книги в момент, когда она находилась в стадии
подготовки к изданию, были самыми полезными. Но я снимаю всякую
ответственность как •с него, так и с Дэса: все ошибки в этой книге - мои.
Дублин, 1960 г.
Дж. JI. Синг
ОСНОВНЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РИМАНОВА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
§ 1. Метрический тензор и допустимые координаты
Хотя знание тензорного исчисления и предполагается, однако представляется
целесообразным выписать в первой главе некоторые основные тензорные
формулы и вытекающие из них следствия. Вторая глава посвящена главным
образом новой тензорной технике (мировая функция); физические же идеи
начинают фигурировать, лишь начиная с гл, III. Для некоторых читателей
может оказаться более предпочтительным начать чтение книги именно с этой
главы и обращаться к двум первым по мере надобности.
Нам предстоит рассмотреть четырехмерное риманово пространство, которому
мы дадим название пространства - времени. Используя латинские индексы1)
для ряда значений I, 2, 3, 4 (с обычным правилом суммирования), мы
обозначим координаты через х1, а метрический (или фундаментальный) тензор
через gtj (= gyi). Инвариант
Ф ^g^dSdx1 (1.1)
есть метрическая (или фундаментальная) форма. Она имеет сигнатуру +2,
означающую, что в любой выбранной нами точке матрица gtj приводится к
диагональному виду (1, 1, 1, -1).
Насколько гладкими являются десять функций gu? В физике такие вопросы
обычно оставляют в стороне до тех пор, пока их рассмотрение не станет
совершенно необходимым. Было бы заманчивым допустить экстремальную
гладкость, т. е. дифференцируемость, бесконечное число раз. Однако для
Солнца, Земли или какого-либо другого тела удобнее принять модель, в
которой существует резкий переход от материи к вакууму и, как результат
такого перехода, имеет место разрыв гладкости gti. Чтобы предусмотреть
такую ситуацию, нужно принять некоторые гипотезы. Здесь мы будем
следовать Лишнеровицу [671].
Предполагается, что пространство - время можно разбить на частично
перекрывающиеся области с системой допустимых координат х1 в каждой из
них, и что преобразования, связанные с переходом от одной системы
координат к другой, относятся к классу С* 2). Однако это не исключает
случая, когда все пространство можно покрыть одной системой допустимых
координат. Здесь важно лишь то обстоятельство, что каждая область
допустимых координат может оказаться разделенной трехмерными
гиперповерхностями разрыва на некоторое число подобластей. Во всей
области glf относятся к функциям класса С1, а в подобластях - класса С3.
Таким образом, мы допускаем возможность разрывов вторых производных gi}
при
') См. дополнение А, касающееся обозначений. Они в основном совпадают с
обозначениями Синга и Шилда 11190). Все ссылки относятся к библиографии,
помещенной в конце книги.
2) Преобразования с непрерывными третьими производными.
12 Гл. I. Тензорные формулы для риманова пространства - времени
переходе через гиперповерхность разрыва. Это предположение может
показаться слишком искусственным. В оправдание можно привести следующие
соображения: во-первых, оно в процессе применения не противоречит
физическим идеям и, во-вторых (хотя это соображение - до некоторой
степени сомнительный аргумент), оно аналогично допущению, с которым мы
встречаемся в теории потенциала, если величины gпринять за аналоги
ньютоновского потенциала.
Читателю, пока у него не возникнет необходимости рассмотреть вопрос о
гладкости функций gмы порекомендуем не вдаваться в упомянутые выше
тонкости и считать, что gtj дифференцируемы сколь угодно большое число
раз.
Для некоторого контравариантного вектора V квадратичная форма gijVlVJ
положительна, отрицательна или равна нулю. Если ее величина отлична от
нуля, то определим индикатор вектора V* [обозначим его е (V)], равный ±
1, так, что
е(У)^У7>>0. (1.2)
Мы используем следующую терминологию:
gtjV'V* < 0, в (V) = - 1, временноподобный вектор;
gijV'V1 > О, е (V) = 1, пространственноподббный вектор;
gijV'V1 = 0, нулевой вектор1).
Иногда оказывается удобным приписать индикатор ^ 1 нулевому вектору;
какое значение из двух мы при этом выберем, не существенно, поскольку
индикатор умножается на нуль.
Бесконечно малый вектор dxl в точке х1 имеет величину (или норму)
ds~{egijdxldx'Y^> 0, (1.3)
где е -индикатор dx1. Величину ds можно также называть бесконечно малой
мерой вектора dx1. Для любой кривой С, соединяющей точки А и В, интеграл
в в
L=\ds=* \ (bgiidxldx1)xli (1.4)
А А
определяет конечную меру2), зависящую, разумеется, от выбора
кривой С.
Для облегчения ссылок приведем перечень некоторых хорошо
известных формул (запятые в индексах означают частные
производные):
, ( 1, если i = /,
Символ Кронекера = 5, = { п . , . (1.5)
[ 0, если i Ф ]. '
g = detgu<0. (1.6)
= (1-7)
*) При этом У' т/ЬО. Употребителен также термин "изотропный вектор".-
