Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Исключая ар из уравнений (101.5), получаем вековое уравнение
det (ap<Jco2 - Ьра) = 0, (101.7)
из которого надо определить значения со. Любой положительный корень со2
дает действительное значение со. Это - нормальная круговая частота, а
соответствующая нормальная мода колебания является действительной частью
qp (101.6); амплитуды являются решениями уравнений
(аопсо2 - Ьоа) а° = 0. (101.8)
§ 101] ПРИВЕДЕНИЕ ЭНЕРГИЙ К НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ 359
Отношения величин а - действительные числа, но они имеют некоторый общий
произвольный комплексный множитель.
Приведенному методу трудно следовать, если вековое уравнение (101.7)
имеет кратные корни; кроме того, мы достигаем значительно более глубокого
проникновения в математическую структуру проблемы, представленной
уравнениями (101.4) и (101.5), начиная с начала и используя геометрию
пространства Q. Предполагаем, что кинетическая энергия - положительно
определенная функция (что и имеет место в случае всех естественных
систем); тогда квадратичная форма
А = apoqpqa (101.9)
также положительно определенная и существует линейное однородное
преобразование (q)->{q'), которое превращает1) А в квадратичную форму:
А = q* + (?22'+ ¦ • • + 4n- (101.10)
Если обозначить конечные приращения знаком Д, то формула
D2=apa AcfAqa = Д q? + ... + A q$ (101.11)
определяет конечное евклидово расстояние D между некоторыми двумя точками
пространства Q. (Это интегрируемая форма кинематического линейного
элемента § 84.) Кинетическая энергия выражается следующим образом:
Т = \ "р"9Р9° = 4 + $ + ' '' + ??)• <101Л2)
Можно теперь рассматривать Q как евклидово iV-мер-ное пространство, qp -
как косоугольные, а q'p - прямоугольные декартовы координаты. Мы хотим
определить геометрическую форму эквипотенциальных поверхностей, которые
имеют уравнения
В = bpaqpqa = bpaqp q'a = const, (101.13)
*) Удобно обозначить новые координаты через qp (а не q р); для
преобразований, сохраняющих форму (101.10), не существует различия между
контравариантными и ковариантными величинами.
360
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. VIII
где Ь'ро - новые коэффициенты, полученные в результате преобразования.
Для того чтобы исследовать главные оси эквипотенциальных поверхностей и
выяснить, какого типа эти поверхности, эллиптического или
гиперболического, проведем следующее рассуж-^ дение. Удобно иметь
перед
/ собой одновременно выра-
/ / \ жения в обеих координат-
/---^ / \s"-, ных системах (q) и (q.').
Будем записывать слева- первые, справа - вторые уравнения. На сфере SN-1,
уравнение которой
ар o<f 4° = 1 или Я\2 + Яг ¦ ~b(7v =1)
(101.14)
В есть функция положения; она достигает максимального значения (обозначим
его A,i) в двух или более точках сферы SN-i. Пусть t/(1)p (или Е/р(1)) -
координаты такой точки (рис. 47).
Теперь пересечем сферу ?V-i плоскостью, ортогональной этому последнему
вектору; уравнение плоскости
apaUwpqp = 0 или Upl)qp = 0, (101.15)
получаем при этом N - 2-мерную сферу (обозначим ее SN-2). На сфере SN~2
величина В достигает максимума (Я2) в двух или более точках; пусть f/(2)p
(или Up2)) координаты такой точки. Имеем условие ортогональности
араС/(1)рС/(2)а = 0 или UpwU'pi2) = 0. (101.16)
Пересечем затем сферу SN-2 плоскостью, ортогональной t/(2)p, получаем
сферу SN~ 3 и продолжаем те же рассуждения. Придем в конце концов к
окружности и, наконец, к паре точек Sq.
Таким образом, мы получаем систему N взаимно ортогональных единичных
векторов t/(a)Q или Uра) и числа Яа,
Рис. 47. Приведение к нормальным координатам методом максимума (случай,
когда N = 3).
§ 101] ПРИВЕДЕНИЕ ЭНЕРГИЙ К НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ 361
связанные с ними; Ха - это максимумы функции В при условиях,
установленных выше. Затем с помощью ортогонального преобразования
перейдем к новым прямоугольным декартовым координатам <7р, оси которых
совпадают с полученными выше ортогональными векторами. Благодаря
свойствам максимума легко показать, что в форме В отсутствуют все
произведения членов, когда В выражена через координаты q"p.
Опуская два штриха в конечных координатах, можно выразить этот результат
так. Дамы две квадратичные формы А и В, причем А - положительно
определенная, тогда существует линейное однородное преобразование, ¦
которое превращает А в сумму квадратов переменных, а В - в квадратичную
форму, в которой отсутствуют произведения членов; соответственно этому
кинетическую и потенциальную энергии (101.41) можно преобразовать к
следующим выражениям-.
Эти последние координаты называются нормальными координатами. В этих
рассуждениях несущественно, являются ли Xi положительными или их знаки
различны; все они конечные действительные числа г), так как наша
аргументация не выходила за пределы вещественной области.
Как только энергии приведены к нормальной форме
(101.18), исследование движения становится предельно простым, ибо
уравнения движения (101.2) принимают вид
0 Преобразование энергий к нормальной форме вида (101.18) (на основании
свойств максимума или другим способом) есть основание исследований по
