Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
рис. 31, стр. 208).
а) Или под контуром в случае, указанном в предыдущем примечании.
§991 ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЕ - УГОЛ 351
имеем обратное функциональное соотношение (/)<--> (р') и можем выразить
р'р как функцию интегралов Jp:
Pp = Pp(J)- (99.11)
Подставляя эти функции в (99.1) и (99.2), получаем решение уравнения
H^g,d-^j=p'N(J) (99.12)
в 27У-мерном пространстве переменных (q, J); это решение вида
G (<Р J) = (Яи J) + Gz (Qzi J) + ... ¦+ Gn (qN, J),
(99.13)
где переменные все еще разделены. Примем эту функцию за производящую
функцию КП (q, р)-> (w, J), выраженного формулами
Рр = а-°- J) , щ _ rtjSlV . (99.14)
д(^р QJ р
Величины Jp называются переменными действия, а величины wp - угловыми
переменными.
Когда употребляются угловые переменные, гамильтониан содержит только одну
переменную действия; обозначим его через Н* (J). Канонические же
уравнения движения имеют вид
т - - п _ /оо 1
Jp - ~ 0, wp - , (99.15)
OWp dJ р
так что все Jр постоянны вдоль каждой траектории и все wp определяются
выражениями
wp = \pt + бр, (99.16)
где vp и бр - постоянные, причем первые равны
352
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО (УР)
[ГЛ. VII
Постоянное значение Н вдоль траектории есть II = Е ~ Н* (/),
постоянная Е - полная энергия в обычных динамических системах.
§ 100. Свойство периодичности угловых переменных. Пусть Г (/) - некоторый
контур в пространстве QP, такой, что все переменные действия /р на нем
постоянны. Положение изображающей точки В в пространстве QP определяет
положения изображающих точек Вр в плоскостях Пр (рис. 46) и когда точка В
обходит один раз кон-тур Г (/), эти точки Вр обходят соответствующие
контуры Гр (/), возможно, по нескольку раз. В символической форме можно
написать
где коэффициенты пр - целые числа (положительные, отрицательные или
равные нулю). В соотношении (100.1) и ниже имеет место обычное условие
суммирования от 1 до N.
При обходе контура Г точкой В производящая функция J) возрастает на
Для того чтобы исследовать это выражение, пишем первую группу уравнений
преобразования (99.14):
Первое из этих уравнений устанавливает связь между рi и q 1, которая
одинакова для точки В на контуре Г (/) и для соответствующей точки В\ на
Fi (/); поэтому согласно определению переменной /1 (99.9) имеем
Г (J) = ИрГр (/),
(100.1)
*
_ dGt (<?ii J)
у . . • , Р jy ----------------------
^ р 1 dqt = Hi pi dqi = nji. (100.4)
Г (J) Щ (J)
§ 100]
СВОЙСТВО ПЕРИОДИЧНОСТИ
353
Таким образом, уравнение (100.2) дает следующее соотношение:
Д rG* = пр/р. (100.5)
Мы видим, что вследствие предположений (явных и неявных) функции G* (<7i,
J) ... G% (qN, J) необходимо представляют собой многозначные функции
аргументов q.
При бесконечно малом варьировании переменных действия /р соответственно
изменится контур Г (/). Коэффициенты пр в выражении (100.5), будучи
целыми числами, не изменяются при этой бесконечно малой вариации;
получаем поэтому
6ДTG" = пр б/р. (100.6)
С другой стороны, из уравнения (100.2) имеем
6ДTG* = б ^ рр dqp = <^> (6рр dqp - d4p dpp). (100.7)
rV) г (J)
Последнее выражение есть билинейная форма, инвариантная относительно КП
(ср. § 96), и поэтому
6ДГС?* = <^> (б/р dwp - 6wp dJp). (100.8) t\j)
Но все /р постоянны на контурах Г - варьированном и неварьированном;
поэтому dJр = 0 и б/р = const и мы имеем новое уравнение,
6Д TG* = б/рДгц7р, (100.9)
где Arwp - приращение переменной wp при одном обходе контура Г (/).
Сравнивая это последнее уравнение с (100.6), мы можем сформулировать
следующий результат. Если изображающая точка В обходит в пространстве QP
один раз некоторый контур Г(/), на котором все переменные действия /р
сохраняют постоянные значения, то приращение угловой переменной wp есть
Дг Wp = пр, (100.10)
23 Дж. Л. Синг
354
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО (QP)
[ГЛ. VII
где ftp - число обходов, которое совершает точка Вр по контуру Г(> (/) в
плоскости Пр.
В частности, если все величины (q, J), кроме дц, фиксированы, то точка
Z?j движется по кривой Ti (/) в плоскости П±, а точки В2, . . ., BN
остаются неподвижными. Это вынуждает изображающую точку В в пространстве
QP двигаться по некоторой кривой Г4 (/) и когда Вi полностью обходит
контур Г4 (/), В полностью обходит некоторый контур Г* (/), для которого
числа пр формулы (100.1) равны
fti = 1, ft2 = .. . = nN = 0. (100.11)
Подставляя их в (100.10) и заменяя Г на Г*, имеем уравнения
== 1, == 0, . .., A= 0. (100.12)
11 1
Отсюда получаем более общие соотношения, принимая введенные выше
обозначения
Аг* wa = 6ра. (100.13)
р
Пусть теперь вторая группа уравнений (99.14) разрешена относительно qp:
ЧР - ЧР (w, J). (100.14)
Фиксируя все величины (w, /), кроме w±, мы оставляем тем самым
изображающей точке в пространстве QP одну степень свободы. Что касается
переменных рр, то они задаются для этой одной степени свободы с помощью
уравнений (100.3). Тогда В движется по некоторой кривой в пространстве
QP, а "проектируемые" точки Вр движутся по кривым Гр (/). Пусть Wi
непрерывно возрастает от нуля до 1, другие переменные wp, как мы
