Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
тонкодисперснбй пыли") изображающих .точек с плотностью вероятности / (q,
р, t), такой, что nf dq dp есть число изображающих точек в элементе
объема dq dp в момент времени t. Когда элемент dq dp движется, согласно
каноническим уравнениям его объем сохраняется, также сохраняется число
изображающих точек в нем. Отсюда df/dt = 0 или, что эквивалентно,
jt + [f, Н] = 0. (98.14)
Это - фундаментальное дифференциальное уравнение в частных производных,
которому удовлетворяет плотность /; оно определяет / для любого t, если
задано / для t = 0.
§ 99. Переменные действие - угол2). Переменные действие - угол были
введены Делоне для исследования проблем астрономических возмущений в
небесной механике. Позже они оказались чрезвычайно удобными для старой
формы квантовой механики, так как квантование Бора - Зоммерфельда
состояло в том, что каждая переменная - действие полагалась равной целому
кратному постоянной Планка h.
!) См. Fowler R. Н., Statistical Mechanics (Cambridge, University Press);
Хинчин А. Я., Математические основания статистической механики (Москва,
Гостехиздат, 1943); М ii п-s t е г A., Statistischo Thermodynamik
(Berlin, Springer, 1956); см. также статью Э. А. Гуггенхейма в части
второй тома III Handbuch der Physik.
2) О различных исследованиях переменных действие - угол с примерами и
ссылками на квантовые условия и адиабатические инварианты см. Борн М.,
Лекции по атомной механике, т. 2, Науч.-тех. изд-во Украины, Харьков -
Киев, 1934; Corben and S t е h 1 е [3], стр. 239-264; F u е s [6];
Голдстейн [7], стр. 311-321; Lanczos [15], стр. 243-254; Зоммер-ф е л ь д
А., Строение атома и спектры, пер. К. П. Гурова, под ред. И. Б.
Боровского, Гостехиздат, Москва, 1956, т. 1, стр. 534-541.
348
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО (QP)
[ГЛ. VII
Как показано ниже, теория переменных действие - угол зависит от
разделения переменных в уравнении Гамильтона - Якоби. Пространство QP
должно иметь евклидову топологию, одна или более разделяющихся переменных
может быть циклической (как, например, азимутальный угол)х). Однако
наличие циклических координат не является существенной чертой теории,
просто они делают обсуждение несколько более сложным. Поэтому будем
предполагать, что таких координат нет; существенные изменения, вызванные
их наличием, будут отмечаться там, где это необходимо.
Пусть гамильтониан2) Н (q, р) таков, что уравнение Гамильтона - Якоби
допускает разделение переменных (§ 78). Поэтому мы замечаем, что в 2Аг-
мерном пространстве переменных (q, р') дифференциальное уравнение в
частных производных
где р' подставлено вместо N величин рр и выполняется детерминантное
условие
^2 (1
det -- ф 0; (99.3)
dqp дра
другими словами, (99.2) есть полный интеграл уравнения.
Каноническое преобразование (КП) определяется уравнениями
1) Напомним, что слово "циклический" употребляется в топологическом
смысле; этот термин нельзя путать с "игнорируемый"
!) Предполагается, что система консервативна, т. е. дН/dt = 0.
(99.1)
имеет решение вида
G (?! Р') - Gi ("л, р') + G2 (q2, />') + ... + GN(qN, р'),
(99.2)
(99.4)
(§ 63).
§ 39]
ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЕ - УГОЛ
349
Отсюда можно видеть, что дает разделение переменных; в более подробной
записи первая группа этих уравнений имеет вид
dGi(qup) dG2(q2,p')
Pi ------------< Р2 =-------- ,
dq i dq2
...,PN = dG"ti*'P') ; (99.5)
dqN
каждое уравнение содержит только одну переменную р и соответствующую ей
q, но, конечно, в каждое уравнение входят, вообще говоря, все величины
р'р.
Новый гамильтониан равен тогда
H'(q, p') = H(q,p)=H ^.g, - j =p'N, (99.6)
а новые уравнения движения имеют вид
дН' ., дН'
% = -т-г , Рр= - ¦ (99'7)
dp р dqp
Поэтому все величины (д', р') - постоянные вдоль каждой траектории,
исключая д#, ибо для нее имеем ддг = 1, так что q'n = t -f- const. Можно
написать
Pn=E, (99.8)
где Е - постоянное значение Н на траектории. С помощью КП (99.4) мы
преобразовали траекторию в параллельные прямые линии, как в § 96.
Рассмотрим изображающую плоскость Пи в которой gi, pi выбраны за
прямоугольные декартовы координаты (рис. 46). Если N величин рр остаются
постоянными, то первое уравнение (99.5) определяет кривую в плоскости Пй
обозначим эту кривую через Ti (р'). Аналогично другие уравнения в (99.5)
определяют кривые Г2 (р'), . . . ..., (р') в изображающих
плоскостях П2, . . ., nN.
350
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО (QP)
1.ГЛ. VII
Предположим теперь, что все эти кривые замкнутые1). В каждой изображающей
плоскости имеем coN контуров Гр (р'); система контуров
Рис. 46. Контур Г(р') или ri(y) в плоскости канонических переменных д, р.
(по одному в каждой плоскости) определяется значениями N величин рр.
Определим величины /р формулами
/1= ^ Pidqi, ..., /n ^ pNdqN) (99.9)
Tl(P') гн(р,)
на самом деле это "площади", заключенные внутри2) нескольких контуров,
определенных значениями рр. Предполагая затем, что
det д-^ф 0, (99.10)
др'а
0 В случае циклической координаты может появиться контур, подобный Г' (на
