Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
пространстве QT, эти начальный и конечный лучи являются прямыми линиями.
Когда имеем задачу в PH, это просто две точки, каждая из которых лежит на
некоторой TV-мерной поверхности, заданной уравнениями (80.1) или (80.3)
(рис. 39).
Рассмотрим теперь столкновение системы п частиц, взаимодействующих друг с
другом (именно этот случай имеет место в кинетической теории газов).
Обобщенные силы можно получить дифференцированием потенциальной функции
или из обобщенной потенциальной функции и, следовательно, в этом случае
столкновение описывается гамильтоновой динамикой. Обозначим через mi = т2
= т3 массу первой частицы, а через qi, q2, qs - ее прямоугольные
декартовы координаты; через m4 = т5 = т6 обозначим массу второй частицы,
через 94> <75> <7е - ее координаты и т. д. Тогда лагранжева функция имеет
вид
дрр
dW
дрР
dW
(80.6)
Iя .2
2 2 Ша<1а ~ V
(80.7)
А= 1
266 ПРОСТРАНСТВО ИМПУЛЬСА-ЭНЕРГИИ (PH) [ГЛ. III
где N = 3п. Мы предполагаем, что V - функция положений и, может быть,
скоростей частиц, обращающаяся в нуль, когда расстояние между частицами
стремится к бесконечности.
Пусть вначале частицы находятся бесконечно далеко друг от друга, а затем
начинают сближаться, взаимодействуют и, наконец, снова удаляются на
бесконечное расстояние. Чтобы избежать затруднения с пределами t->+ оо,
предположим, что взаимодействие полностью отсутствует при t < и t > t0 и
может начинаться и прекращаться так, постепенно как мы этого пожелаем.
Это означает, что мы должны изменить функцию (80.7),
а именно: написать U(q, t, q) вместо V(q, q), понимая при этом, что F = 0
для всех-1, кроме t% < t < t0. Тогда имеем следующее уравнение энергии
для начального и конечного положений:
Мы можем теперь описать явление любого возможного столкновения в
гамильтоновой динамике с помощью одной-единственной функции W, зависящей
от следующих аргументов:
Это означаем, что если задана такая характеристическая функция, то
начальная и конечная траектории определяются уравнениями (80.6), величины
(80.9) имеют произвольные постоянные значения, а функции Я*, Я имеют вид
(80.8).
Функция W не является совершенно произвольной, так как мы предполагаем,
что имеет место аксиома однородности и изотропности ньютоновой динамики
(§ 5). Если p*(V, . . ., р*(П) - векторы импульсов (в обычном
пространстве) индивидуальных частиц перед столкновением, а рш, . . ., рт>
- векторы импульсов после столк-
•\
А~ 1
(80.8)
А=1
(80.9)
§ 80]
СТОЛКНОВЕНИЯ
267
новения, то 6п компонент этих векторов могут входить в И7 только в форме,
инвариантной относительно жестких перемещений твердого тела. Таким
образом, если существуют только две частицы, то W должна быть функцией
девяти скалярных произведений или эквивалентной совокупности аргументов
pW-pW, j"(2> - '
р*(1)-р*(1), p*(l) -р*(2\ р^-р*^,
р(1).^*(2)_|_р(2).^*(1).
последние два произведения представлены суммой ради симметрии.
(80.10)
ГЛАВА IV ПРОСТРАНСТВО КОНФИГУРАЦИЙ (Q)')
§ 81. Интерпретация динамики в пространстве Q. Лучи и волны в когерентной
системе2). Пространство конфигураций Q, в котором координатами
изображающей точки являются N обобщенных координат qp динамической
системы, дает ее наиболее естественное геометрическое представление. Если
система состоит из одной частицы, то изображающая точка в пространстве Q
совпадает с положением частицы в обычном пространстве. Всему, что сказано
в гл. Д II о динамике в пространстве QT, можно дать интерпретацию и в Q.
Луч или траектория (которые были некоторой кривой в QT) появляются в Q
как движущаяся точка; время t здесь является только параметром, но не
координатой; координаты qp и сопряженные им импульсы рр удовлетворяют
каноническим уравнениям
дН . дН /й4Ч\
qp - , рр . (81.1)
дрр dqp
Однако хотя пространство Q может показаться более наглядным, чем
пространство QT, волны постоянного действия для когерентной системы,
рассмотренные в § 75, представляются в пространстве конфигураций более
сложной движущейся картиной. В пространстве QT лучи
!) Это пространство часто называют ^-пространством.
2) См. Лев и-Ч и в и т а и А м а л ь д и, цит. соч. в § 76. Некоторые
интересные общие замечания относительно волновой механики см. L е v i-C i
v i t. a Т., Bull. Amer. Math. Soc. 39, 535 -563 (1933),
§ 81] ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДИНАМИКИ В ПРОСТРАНСТВЕ Q 269
или траектории - это неподвижные кривые; волны - неподвижные iV-мерные
поверхности, как показано на рис. 35 (стр. 246). В пространстве Q первые
представляют собой движущиеся точки, а последние - N-1-мерные движущиеся
поверхности с уравнениями
U(q, t) = const, (81.2)
где U - одноточечная характеристическая функция. На рис. 40 Г есть луч
или траектория, a DD' - положения изображающей точки на нем
соответственно в моменты t, t + dt.
W - волна, которая проходит через точку D в момент t, a W' - та же самая
волна в момент t + dt.
Необходимо отметить, что, вообще говоря, точка D' не лежит на Wдругими
словами, [изображающая точка не переносится поверхностью волны.
