Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
2Amga
кроме случая х0 = 1, когда корень является трехкратным. Предположим, что
х0 Ф 1. Имеем тогда два случая:
§Т56] ВРАЩАЮЩИЙСЯ ВОЛЧОК 179
х0 > 1, показанный на рис. 23, и х0 < 1, показанный на рис. 24.
Любое возмущенное движение, для которого постоянные а, р, Е мало
отличаются от значений (56.33),
Рис. 23. График основной кубической функции для устойчивого спящего
волчка.
колеблется в пределах (хи х2), определяемых кубичной функцией f(x),
аналогичной функции (56.22), график которой мало отличается от графиков
рис. 23 или 24,
Рис. 24. График основной кубической функции для неустойчивого спящего
волчка.
каждый из которых относится к невозмущенному движению. График
возмущенного движения (показанный на чертеже пунктиром), согласно (56.23)
будет иметь нули в точках
12*
180 ТВЕРДОЕ ТЕЛО, ИМЕЮЩЕЕ ОДНУ НЕПОДВИЖ. ТОЧКУ [ГЛ. III
(xt, х2), где xi < х2 < 1. В случае, показанном на рис.
23,
эти точки близки к 1, а в случае, показанном на рис. 24,
xi близок к х0, х2 близок к 1. В первом случае амплитуда колебаний в
возмущенном движении мала, во втором случае она конечна (приблизительно
от х = х0 до х - 1). Первое означает устойчивость, второе -
неустойчивость.
Проведя аналогичные рассуждения, найдем, что х0 = 1 дает устойчивость;
итак, мы имеем как необходимое и достаточное условие устойчивости спящего
волчка х0 > 1 или эквивалентное этому условию неравенство
2 4А. 171^0, /КА ЧА\
S > ~ С2 ' (56-'36)
где s - спин и (С, А) - осевой и экваториальный моменты инерции волчка1).
§ 57. Гироскопическая "жесткость". Гирокомпас.
а) Гироскопическая "жесткость". Гироскоп (или гиростат) - это твердое
тело с осью симметрии, вокруг которой тело вращается с большой угловой
скоростью. Всякий, кто имел дело с гироскопом, знает, что вращение
придает ему род "жесткости", так что кажется, будто гироскоп оказывает
сопротивление изменению направления его оси. Это только грубое мускульное
впечатление. Необходимо тщательное математическое исследование для того,
чтобы объяснить это явление. Обсудим три аспекта гироскопической
"жесткости"; в первых двух симметрия тела не используется.
Рассмотрим твердое тело, имеющее одну неподвижную точку, или свободное
твердое тело; в последнем случае ограничимся только движением
относительно центра масс. В любом из этих случаев основное уравнение
можно написать в виде (ср. с (49.9))
h = G, (57.1)
где h и G - момент импульса и момент сил относительно
!) О различных исследованиях устойчивости спящего волчка с использованием
уравнений Лагранжа см. Уиттекер [28], стр. 231-233.
57] ГИРОСКОПИЧЕСКАЯ "ЖЕСТКОСТЬ". ГИРОКОМПАС 181
неподвижной точки или относительно центра масс, соответственно тому,
какой случай имеет место.
В качестве первой оценки гироскопической жесткости рассмотрим скорость
изменения направления вектора А, направление которого описывает единичный
вектор U - h/h. Тогда
h = hU + hU = G, UU= 0, (57.2)
откуда следует, что
h = U G, (57.3)
и из (57.2) получаем следующее соотношение:
W
u = Jr., (57.4)
где
W = G-U(U-G); (57.5)
W представляет собой вектор, проведенный из конца G перпендикулярно к
вектору h до пересечения с ним
(рис. 25). Теперь U есть скорость точки, в которой вектор h пересекает
единичную сферу. Из уравнений (57.4) и (57.5) видно, Что абсолютная
величина скорости этой точки удовлетворяет неравенству
(57.6)
так что она стремится к нулю, когда h стремится к бесконечности. В этом
смысле большой момент импульса движения как бы сообщает "жесткость"
направлению вектора момента импульса.
Во-вторых, пусть (i, j, k) - главный ортонормальный триэдр, неподвижный
относительно тела. В момент t - О пусть тело вращается вокруг оси к с
угловой скоростью s. Пусть к телу приложен момент G. Рассмотрим
соответствующее движение изображающей точки к на единичной сфере. Ее
скорость и ускорение в произвольный момент
Рис, 25.
182 ТВЕРДОЕ ТЕЛО, ИМЕЮЩЕЕ ОДНУ НЕПОДВИЖ. ТОЧКУ [ГЛ.III
времени имеют следующие выражения:
к = сахк, к = (йХ/с + <йХ(<йХк). (57.7)
В момент t = О имеем условия
1 = ш2 = 0, ш3 = s, (57.8)
и, следовательно, согласно уравнениям Эйлера (49.14) имеем уравнения
Aciij = Gu В си 2 ~ G%, С со з = G3. (57.9)
Таким образом, в момент времени t = 0 скорость и уско-
рение равны
к = 0, k=-^Lj + -^i. (57.10)
Спин s не входит в это ускорение, которое имеет тот же вид, как и в
случае, когда s - 0. Поскольку рассматривается вторая производная вектора
к по времени (т. е, ускорение), гироскопическая жесткость не имеет места.
Ё-третьих, рассмотрим тело, у которого ось симметрии совпадает с вектором
к, а моменты инерции равны (А, А, С). Пусть (I, ,/, К) - ортонормальный
триэдр, неподвижный в пространстве, и пусть тело приведено в движение
так, что его спин sk и вектор к вращаются в плоскости (KI) с
(прецессионной) угловой скоростью pj. Тогда его угловая скорость и момент
импульса равны
сa = pj+sk, h = ApJ + Csk, (57.11)
а момент сил, необходимый для поддержания этого движения, выражается
